Prova di Statistica (CLEA E CLEAM)
| COGNOME | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) |
| NOME | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) |
| Matricola | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) |
| Codice | A | A | 4 | 7 | 8 | R | M | X |
Esercizio 1
Su un campione di \(500\) imprese meccaniche dell’Emilia-Romagna è stato rilevato l’investimento effettuato negli ultimi 10 anni per gli obiettivi SDG (espresso in milioni di euro). Di seguito è riportata la distribuzione delle frequenze assolute:
| \([\text{x}_j,\) | \(\text{x}_{j+1})\) | \(n_j\) |
|---|---|---|
| 0.0 | 1.5 | 214 |
| 1.5 | 3.0 | 142 |
| 3.0 | 5.0 | 83 |
| 5.0 | 10.0 | 60 |
| 499 |
1.a (Punti 14/56; 7.75/31) Disegnare l’istogramma di densità percentuale.
| \([\text{x}_j,\) | \(\text{x}_{j+1})\) | \(n_j\) | \(f_j\) | \(b_j\) | \(h_j\) |
|---|---|---|---|---|---|
| 0.0 | 1.5 | 214 | 0.4289 | 1.5 | 28.590 |
| 1.5 | 3.0 | 142 | 0.2846 | 1.5 | 18.971 |
| 3.0 | 5.0 | 83 | 0.1663 | 2.0 | 8.317 |
| 5.0 | 10.0 | 60 | 0.1202 | 5.0 | 2.405 |
| 499 | 1.0000 | 10.0 |
1.b (Punti 3/56; 1.66/31) Che percentuale di imprese hanno investito più di 3.5 milioni di euro negli ultimi 10 anni?
\[\begin{eqnarray*} \%(X> 3.5 ) &=& ( 5 - 3.5 )\times h_{ 3 }+ f_{ 4 }\times 100 \\ &=& ( 1.5 )\times 8.317 + ( 0.1202 )\times 100 \\ &=& 0.245 \times(100)\\ \#(X> 3.5 ) &\approx& 122 \end{eqnarray*}\]
1.c (Punti 2/56; 1.11/31) Che relazione dobbiamo aspettarci tra media, mediana e moda?
1.d (Punti 2/56; 1.11/31) L’investimento medio è pari a \(\bar x=2.5\), mentre la varianza è pari a \(\sigma^2=4.7\). Se ogni impresa aumentasse il proprio investimento del 5%, quanto varrebbero la media e la varianza dei dati così trasformati?
\[ \bar y= 2.6072 ~~~~~~~~ \sigma^2_ Y= 5.2076 \]
Esercizio 2
Un’azienda che produce macchinari per imballaggio ha due stabilimenti \(A\) e \(B\), nello stabilimento \(A\) il numero di macchinari prodotti a settimana è distribuito come una Poisson di parametro 1.5 \(X_A\sim\text{Pois}(1.5)\), mentre nello stabilimento \(B\) il numero di macchinari prodotti a settimana è distribuito come una Poisson di parametro 0.8 \(X_B\sim\text{Pois}(0.8)\), \(X_A\) e \(X_B\) indipendenti.
2.a (Punti 14/56; 7.75/31) Calcolare la probabilità che il totale prodotto (\(X_A + X_B\)) in una settimana sia maggiore o uguale a due.
\[ X_A + X_B \sim \text{Pois}(1.5+0.8) \] \[\begin{eqnarray*} P( X_A+X_B \geq 2 ) &=& 1-P( X_A+X_B < 2 ) \\ &=& 1-\left( \frac{ 2.3 ^{ 0 }}{ 0 !}e^{- 2.3 }+\frac{ 2.3 ^{ 1 }}{ 1 !}e^{- 2.3 } \right)\\ &=& 1-( 0.1003+0.2306 )\\ &=& 1- 0.3309 \\ &=& 0.6691 \end{eqnarray*}\]
2.b (Punti 3/56; 1.66/31) Calcolare la probabilità che \(X_A + X_B< 2\) per 4 settimane consecutive
\[\begin{eqnarray*} P(X_A + X_B < 2) &=& 1 - P(X_A + X_B \ge 2) \\ &=& 1 - 0.6691=0.3309\\ P(\text{4 volte}\{X_A + X_B < 2\}) &=& P(X_A + X_B < 2)^4\\ &=& 0.3309^4\\ &=& 0.012 \end{eqnarray*}\]
2.c (Punti 2/56; 1.11/31) Sia \(Z\sim N(0,1)\) e \(Y\sim \chi^2_4\), \(Z\) e \(Y\) indipendenti. Come si distribuisce \[ \frac{Z}{\sqrt{Y/4}}\sim ~~~? \]
\[ \frac{Z}{\sqrt{Y/4}} \sim t_4 ~~~~\text{è una $t$ di Sudent con 4 gradi di libertà} \]
2.d (Punti 2/56; 1.11/31) Sia \(X\) una VC e siano \(A=\{X\le 1.5\}\) e \(B=\{X > 3.2\}\). Posto \(P(A)=0.15\) e \(P(B)=0.05\), calcolare \(P(\bar A\cap \bar B)\). (suggerimento: individuare \(A\) e \(B\) sulla retta reale)
Anzitutto notiamo che \[ \bar A=\overline{\{X\le 1.5\}} = \{X>1.5\},~~~~ \bar B=\overline{\{X> 3.2\}} = \{X\le3.2\}. \] e quindi \[ \bar A\cap\bar B= \{X>1.5\}\cap\{X\le3.2\} =\{1.5<X\le 3.2\} \]
Modo 1: con le regole insiemistiche
Sapendo che \[ {\bar A \cap \bar B} = \overline{A\cup B} ~\rightarrow \overline{\bar A \cap \bar B} = {A\cup B} \] otteniamo \[ \overline{\bar A\cap\bar B}= \{X\le1.5\}\cup\{X>3.2\} \] da cui \[\begin{eqnarray*} P(\bar A\cap \bar B) &=& P(1.5 < X \le 3.2) \\ &=& 1 - P(\{X\le 1.5\}\cup\{X > 3.2\})\\ &=& 1 - (P(X\le 1.5)+P(X > 3.2))\\ &=& 1 - (0.15 + 0.05)\\ &=& 0.8 \end{eqnarray*}\]
Modo 2: con la funzione di ripartizione
Sia \(F(x)=P(X\le x)\) la funzione di ripartizione di \(X\), dai dati sappiamo che \[\begin{eqnarray*} F(1.5) &=& P(X\le 1.5)\\ &=& 0.15\\ F(3.2) &=& P(X\le 3.1)\\ &=& 1-P(X>3.1)\\ &=& 1- 0.05 = 0.95\\ \end{eqnarray*}\] dalle proprietà di \(F\) ricaviamo \[ P(1.5<X\le 3.2) = F(3.2)-F(1.5)=0.95-0.15=0.8 \]
Graficamente: se la coda di sinistra ha probabilità 0.15 e quella di destra probabilità 0.05 al centro resta lo 0.8.
Esercizio 3
3.a (Punti 14/56; 7.75/31) Un’urna contiene 3 palline numerate con \(\fbox{0}\), 3 numerate con \(\fbox{1}\) e 2 numerate con \(\fbox{2}\). Si vince se esce \(\fbox{2}\) e si perde altrimenti. Si estrae 100 volte con reinserimento. Qual è la probabilità di vincere almeno 30 volte?
Teorema del Limite Centrale (somma di Bernoulli)
Siano \(X_1\),…,\(X_n\), \(n=100\) VC IID, tc \(X_i\sim\text{Ber}(\pi=0.25)\)\(,\forall i\), posto: \[ S_n = X_1 + ... + X_n \] allora:\[\begin{eqnarray*} S_n & \mathop{\sim}\limits_{a}& N(n\pi,n\pi(1-\pi)) \\ &\sim & N(100\cdot0.25,100\cdot0.25\cdot(1-0.25)) \\ &\sim & N(25,18.75) \end{eqnarray*}\]\[\begin{eqnarray*} P( S_n > 30 ) &=& P\left( \frac { S_n - n\pi }{ \sqrt{n\pi(1-\pi)} } > \frac { 30 - 25 }{\sqrt{ 18.75 }} \right) \\ &=& P\left( Z > 1.15 \right) \\ &=& 1-P(Z< 1.15 )\\ &=& 1-\Phi( 1.15 ) \\ &=& 0.1251 \end{eqnarray*}\]
Prova di Statistica (CLEA E CLEAM)
| COGNOME | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) |
| NOME | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) |
| Matricola | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) |
| Codice | W | B | I | R | 9 | W | T | S |
Esercizio 1
Su un campione di \(50\) piccole imprese meccaniche dell’Emilia-Romagna è stato rilevato l’utile realizzato nel periodo pandemico (espresso in migliaia di euro). Di seguito è riportata la distribuzione delle frequenze relative:
| \([\text{x}_j,\) | \(\text{x}_{j+1})\) | \(f_j\) |
|---|---|---|
| -10 | -5 | 0.06 |
| -5 | -1 | 0.18 |
| -1 | 2 | 0.70 |
| 2 | 5 | 0.06 |
| 1.00 |
1.a (Punti 14/56; 7.75/31) Disegnare l’istogramma di densità percentuale.
| \([\text{x}_j,\) | \(\text{x}_{j+1})\) | \(n_j\) | \(f_j\) | \(b_j\) | \(h_j\) |
|---|---|---|---|---|---|
| -10 | -5 | 3 | 0.06 | 5 | 1.20 |
| -5 | -1 | 9 | 0.18 | 4 | 4.50 |
| -1 | 2 | 35 | 0.70 | 3 | 23.33 |
| 2 | 5 | 3 | 0.06 | 3 | 2.00 |
| 50 | 1.00 | 15 |
1.b (Punti 3/56; 1.66/31) Calcolare il numero di imprese con utile negativo
\[\begin{eqnarray*} \%(X< 0 ) &=& f_{ 1 }\times 100+f_{ 2 }\times 100 +( 0 - -1 )\times h_{ 3 } \\ &=& ( 0.06 )\times 100+( 0.18 )\times 100 +( 1 )\times 23.33 \\ &=& 0.4733 \times(100) \\ \#(X< 0 ) &\approx& 24 \end{eqnarray*}\]
1.c (Punti 2/56; 1.11/31) Che relazione dobbiamo aspettarci tra media, mediana e moda?
1.d (Punti 2/56; 1.11/31) Si consideri la funzione \[ g(x) = (2.1-x)^2+(3.4-x)^2+(6.3-x)^2 \] Per quale valore di \(x\), \(g\) è minima?
La media aritmetica minimizza la somma del quadrato degli scarti, in questo caso \[ \bar x = \frac{2.1+3.4+6.3}{3}=3.9333 \]
Esercizio 2
2.a (Punti 14/56; 7.75/31) Un’urna contiene tre palline: 2 Rosse e 1 Nera. Si estrae 2 volte senza reimmissione. Si vince se si ottengono 2 Rosse. Si rimettono le palline nell’urna e si ripete il gioco 6 volte. Qual è la probabilità di vincere almeno 5 volte su 6 giocate?
\[ P(R_1\cap R_2)=\frac 23\cdot\frac 12 = \frac 13 \] \[\begin{eqnarray*} P( X \geq 5 ) &=& \binom{ 6 }{ 5 } 0.3333 ^{ 5 }(1- 0.3333 )^{ 6 - 5 }+\binom{ 6 }{ 6 } 0.3333 ^{ 6 }(1- 0.3333 )^{ 6 - 6 } \\ &=& 0.0165+0.0014 \\ &=& 0.0179 \end{eqnarray*}\]
2.b (Punti 3/56; 1.66/31) Un’urna contiene tre palline: 2 Rosse e 1 Nera. Si estrae 2 volte senza reimmissione. Si vince se si ottengono 2 Rosse. Si rimettono le palline nell’urna e si ripete finché non si vince una volta. Qual è la probabilità di finire dopo 4 giocate?
\[\begin{eqnarray*} P(\text{finire in 4 giocate}) &=& P(X_1=0)P(X_2=0)P(X_3=0)P(X_4=1)\\ &=& \left(\frac 23\right)^3 \frac 13\\ &=& 0.0988 \end{eqnarray*}\]
2.c (Punti 2/56; 1.11/31) Siano \(Z\sim N(0,1)\) e \(Y\sim N(0,1)\), \(Z\) e \(Y\) indipendenti. Come si distribuisce \[ \frac{Z+Y}{2}\sim ~~~? \]
\[\begin{eqnarray*} \frac{Z+Y}{2} &=& \frac 12Z+\frac 12 Y\\ \frac 12Z+\frac 12 Y &\sim& N\left(0+0,\left(\frac 12\right)^2\cdot 1+\left(\frac 12\right)^2\cdot 1\right)\\ &\sim& N\left(0,\frac 12\right) \end{eqnarray*}\]
2.d (Punti 2/56; 1.11/31) Sia \(X\) una VC e siano \(A=\{X\le 1.5\}\) e \(B=\{X > 3.2\}\). Posto \(P(A)=0.15\) e \(P(B)=0.05\), calcolare \(P(A\cup B)\). (suggerimento: individuare \(A\) e \(B\) sulla retta reale)
\[\begin{eqnarray*} P( A\cup B) &=& P(\{X\le 1.5\}\cup\{X > 3.2\})\\ &=& P(X\le 1.5)+P(X > 3.2)\\ &=& 0.2 \end{eqnarray*}\] Graficamente: se la coda di sinistra ha probabilità 0.15 e quella di destra probabilità 0.05 la somma delle due code è 0.20.
:::
Esercizio 3
3.a (Punti 14/56; 7.75/31) Un’urna contiene 2 palline numerate con \(\fbox{-1}\), 3 numerate con \(\fbox{+1}\). Si estrae 1000 volte con reinserimento. Qual è la probabilità che la somma delle 1000 estrazioni sia minore di 180?
\[\begin{eqnarray*} \mu &=& E(X_i) = \sum_{x\in S_X}x P(X=x)\\ &=& ( -1 ) \frac { 2 }{ 5 }+ 1 \frac { 3 }{ 5 } \\ &=& 0.2 \\ \sigma^2 &=& V(X_i) = \sum_{x\in S_X}x^2 P(X=x)-\mu^2\\ &=&\left( ( -1 ) ^2\frac { 2 }{ 5 }+ 1 ^2\frac { 3 }{ 5 } \right)-( 0.2 )^2\\ &=& 0.96 \end{eqnarray*}\] Teorema del Limite Centrale (somma VC qualunque)
Siano \(X_1\),…,\(X_n\), \(n=1000\) VC IID, tc \(E(X_i)=\mu=0.2\) e \(V(X_i)=\sigma^2=0.96,\forall i\), posto: \[ S_n = X_1 + ... + X_n \] allora:\[\begin{eqnarray*} S_n & \mathop{\sim}\limits_{a}& N(n\mu,n\sigma^2) \\ &\sim & N(1000\cdot0.2,1000\cdot0.96) \\ &\sim & N(200,960) \end{eqnarray*}\]\[\begin{eqnarray*} P( S_n < 180 ) &=& P\left( \frac { S_n - n\mu }{ \sqrt{n\sigma^2} } < \frac { 180 - 200 }{\sqrt{ 960 }} \right) \\ &=& P\left( Z < -0.65 \right) \\ &=& 1-\Phi( 0.65 ) \\ &=& 0.2578 \end{eqnarray*}\]
Prova di Statistica (CLEA E CLEAM)
| COGNOME | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) |
| NOME | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) |
| Matricola | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) |
| Codice | J | C | W | U | 7 | 1 | L | 2 |
Esercizio 1
Un consorzio agroalimentare ha monitorato l’ammontare delle vendite mensili (in migliaia di euro) di un campione di 50 aziende agricole del Centro Italia, nel corso dell’anno 2023. Di seguito è riportata la distribuzione delle frequenze cumulate, raggruppate in classi di vendita.
| \([\text{x}_j,\) | \(\text{x}_{j+1})\) | \(F_j\) |
|---|---|---|
| 0 | 5 | 0.06 |
| 5 | 7 | 0.34 |
| 7 | 8 | 0.66 |
| 8 | 10 | 0.94 |
| 10 | 15 | 1.00 |
1.a (Punti 14/56; 7.75/31) Disegnare l’istogramma delle densità percentuali.
| \([\text{x}_j,\) | \(\text{x}_{j+1})\) | \(n_j\) | \(f_j\) | \(b_j\) | \(h_j\) |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 5 | 3 | 0.06 | 5 | 1.2 |
| 5 | 7 | 14 | 0.28 | 2 | 14.0 |
| 7 | 8 | 16 | 0.32 | 1 | 32.0 |
| 8 | 10 | 14 | 0.28 | 2 | 14.0 |
| 10 | 15 | 3 | 0.06 | 5 | 1.2 |
| 50 | 1.00 | 15 |
1.b (Punti 3/56; 1.66/31) Qual è la percentuale di aziende che hanno venduto più di 8.5 mila euro?
\[\begin{eqnarray*} \%(X> 8.5 ) &=& ( 10 - 8.5 )\times h_{ 4 }+ f_{ 5 }\times 100 \\ &=& ( 1.5 )\times 14 + ( 0.06 )\times 100 \\ &=& 0.27 \times(100)\\ \#(X> 8.5 ) &\approx& 14 \end{eqnarray*}\]
1.c (Punti 2/56; 1.11/31) Che relazione dobbiamo aspettarci tra media, mediana e moda?
1.d (Punti 2/56; 1.11/31) Si consideri la funzione \[ g(x) = |2.1-x|+|3.4-x|+|6.3-x|+|7.1 -x| + |18.9-x| \] Per quale valore di \(x\), \(g\) è minima?
La meia rende minima la somma dei valori assoluti degli scarti, in qeusto caso \[ x_{0.5} = x_{(3)}=6.3 \]
Esercizio 2
Due impianti industriali producono gas utile a un processo chimico. Le quantità giornaliere (in m³) sono \(X \sim N(120,25)\) per l’impianto \(I_1\) e \(Y \sim N(80,16)\) per l’impianto \(I_2\), \(X\) e \(Y\) indipendenti. L’impianto \(I_1\) va in sovraccarico se \(A=\{X> 130\}\), mentre l’impianto \(I_2\) va in sovraccarico se \(B=\{Y> 88\}\).
2.a (Punti 14/56; 7.75/31) Calcolare la probabilità che almeno uno dei due impianti vada in sovraccarico.
\[\begin{eqnarray*} P( X > 130 ) &=& P\left( \frac { X - \mu_X }{ \sigma_X } > \frac { 130 - 120 }{\sqrt{ 25 }} \right) \\ &=& P\left( Z > 2 \right) \\ &=& 1-P(Z< 2 )\\ &=& 1-\Phi( 2 ) \\ &=& 0.0228 \end{eqnarray*}\]\[\begin{eqnarray*} P( Y > 88 ) &=& P\left( \frac { Y - \mu_Y }{ \sigma_Y } > \frac { 88 - 80 }{\sqrt{ 16 }} \right) \\ &=& P\left( Z > 2 \right) \\ &=& 1-P(Z< 2 )\\ &=& 1-\Phi( 2 ) \\ &=& 0.0228 \end{eqnarray*}\] \[\begin{eqnarray*} P(A\cup B) &=& P(A)+P(B)-P(A\cap B)\\ &=& P(A)+P(B)-P(A)P(B)\\ &=& 0.0228 + 0.0228 -0.0005\\ &=& 0.045 \end{eqnarray*}\]
2.b (Punti 3/56; 1.66/31) La produzione totale dell’impianto è data da \(S=X+Y\). Calcolare \(P(S>190|S<200)\).
\[\begin{eqnarray*} S &\sim& N(120+80,25+16)\\ &\sim& N(200,41)\\ \{S>190\}\cap \{S<200\} &=& \{190< S< 200\} \end{eqnarray*}\] \[\begin{eqnarray*} P( 190 < S \leq 200 ) &=& P\left( \frac { 190 - 200 }{\sqrt{ 41 }} < \frac { S - \mu_S }{ \sigma_S } \leq \frac { 200 - 200 }{\sqrt{ 41 }}\right) \\ &=& P\left( -1.56 < Z \leq 0 \right) \\ &=& \Phi( 0 )-\Phi( -1.56 )\\ &=& \Phi( 0 )-(1-\Phi( 1.56 )) \\ &=& 0.5 -(1- 0.9406 ) \\ &=& 0.4406 \end{eqnarray*}\]
\[\begin{eqnarray*} P(S>190|S<200) &=& \frac{P(\{S>190\}\cap \{S<200\})}{P(S<200)}\\ &=& \frac{P(190< S< 200)}{P(S<200)}\\ &=& \frac{0.4406}{0.5}\\ &=& 0.8812 \end{eqnarray*}\]
2.c (Punti 2/56; 1.11/31) Siano \(X\sim \text{Ber}(\pi=0.3)\) e \(Y\sim \text{Ber}(\pi=0.3)\), \(X\) e \(Y\) indipendenti. Come si distribuisce \[ X+Y\sim~~~? \]
\[ X+Y\sim \text{Binom}(n=2,\pi=0.3) \]
2.d (Punti 2/56; 1.11/31) Sia \(X\) una VC e siano \(A=\{X\le 1.5\}\) e \(B=\{X > 3.2\}\). Posto \(P(A)=0.15\) e \(P(B)=0.05\), calcolare \(P(\bar A\cup B)\). (suggerimento: individuare \(A\) e \(B\) sulla retta reale)
\[ \begin{eqnarray*} P( A\cup B) &=& P(\overline{\{X\le 1.5\}}\cup\{X > 3.2\})\\ &=& P(\{X> 1.5\}\cup\{X > 3.2\})\\ &=& P(X> 1.5)\\ &=& 1-P(X\le 1.5)\\ &=& 0.85 \end{eqnarray*} \] Graficamente:
:::
Esercizio 3
3.a (Punti 14/56; 7.75/31) Un’urna contiene 2 palline numerate con \(\fbox{0}\), 6 numerate con \(\fbox{1}\) e 2 numerate con \(\fbox{2}\). Si estrae 100 volte con reinserimento. Qual è la probabilità che la proporzione di palline col numero \(\fbox{1}\) sia minore di 0.55?
\[ \pi = P(\text{estrarre $\fbox{1}$})=\frac {6}{10}=0.6 \] Teorema del Limite Centrale (proporzione)
Siano \(X_1\),…,\(X_n\), \(n=100\) VC IID, tc \(X_i\sim\text{Ber}(\pi=0.6)\)\(,\forall i\), posto: \[ \hat\pi=\frac{S_n}n = \frac{X_1 + ... + X_n}n \] allora:\[\begin{eqnarray*} \hat\pi & \mathop{\sim}\limits_{a}& N(\pi,\pi(1-\pi)/n) \\ &\sim & N\left(0.6,\frac{0.6\cdot(1-0.6)}{100}\right) \\ &\sim & N(0.6,0.0024) \end{eqnarray*}\]\[\begin{eqnarray*} P( \hat\pi < 0.55 ) &=& P\left( \frac { \hat\pi - \pi }{ \sqrt{\pi(1-\pi)/n} } < \frac { 0.55 - 0.6 }{\sqrt{ 0.0024 }} \right) \\ &=& P\left( Z < -1.02 \right) \\ &=& 1-\Phi( 1.02 ) \\ &=& 0.1539 \end{eqnarray*}\]
Prova di Statistica (CLEA E CLEAM)
| COGNOME | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) |
| NOME | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) |
| Matricola | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) |
| Codice | O | D | D | R | 7 | 9 | A | P |
Esercizio 1
Su un campione di \(50\) imprese meccaniche dell’Emilia-Romagna è stato rilevato l’investimento effettuato negli ultimi 10 anni per gli obiettivi SDG (espresso in milioni di euro). Di seguito è riportata la distribuzione delle densità percentuali:
| \([\text{x}_j,\) | \(\text{x}_{j+1})\) | \(h_j\) |
|---|---|---|
| 0.0 | 1.5 | 28.00 |
| 1.5 | 3.0 | 18.67 |
| 3.0 | 5.0 | 8.00 |
| 5.0 | 10.0 | 2.80 |
1.a (Punti 14/56; 7.75/31) Calcolare il valore approssimato della mediana.
| \([\text{x}_j,\) | \(\text{x}_{j+1})\) | \(n_j\) | \(f_j\) | \(b_j\) | \(h_j\) | \(F_j\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0.0 | 1.5 | 21 | 0.42 | 1.5 | 28.00 | 0.42 |
| 1.5 | 3.0 | 14 | 0.28 | 1.5 | 18.67 | 0.70 |
| 3.0 | 5.0 | 8 | 0.16 | 2.0 | 8.00 | 0.86 |
| 5.0 | 10.0 | 7 | 0.14 | 5.0 | 2.80 | 1.00 |
| 50 | 1.00 | 10.0 |
\[\begin{eqnarray*}
p &=& 0.5 , \text{essendo }F_{ 2 }= 0.7 >
0.5 \Rightarrow j_{ 0.5 }= 2 \\
x_{ 0.5 } &=& x_{\text{inf}; 2 } + \frac{ { 0.5 } - F_{ 1 }}
{f_{ 2 }} \cdot b_{ 2 } \\
&=& 1.5 + \frac {{ 0.5 } - 0.42 } { 0.28 }
\cdot 1.5 \\
&=& 1.929
\end{eqnarray*}\]
1.b (Punti 3/56; 1.66/31) Che percentuale di imprese ha investito meno di 3.5 milioni di euro negli ultimi 10 anni?
\[\begin{eqnarray*} \%(X< 3.5 ) &=& f_{ 1 }\times 100+f_{ 2 }\times 100 +( 3.5 - 3 )\times h_{ 3 } \\ &=& ( 0.42 )\times 100+( 0.28 )\times 100 +( 0.5 )\times 8 \\ &=& 0.74 \times(100) \\ \#(X< 3.5 ) &\approx& 37 \end{eqnarray*}\]
1.c (Punti 2/56; 1.11/31) Individuare la classe modale, metterla in relazione con la mediana calcolata al punto 1a. La media aritmetica è maggiore o minore della mediana? Perché?
1.d (Punti 2/56; 1.11/31) Sulle \(n_{ER}=50\) dell’Emilia-Romagna l’investimento medio è pari a \(\bar x_{ER}=2.44\), mentre la standard deviation è pari a \(SD_{ER}=2.0861\). La stessa indagine è stata condotta su un campione di \(n_L=60\) imprese della Lombardia e ha evidenziato un investimento medio pari a \(\bar x_{L}=2.79\) e una standard deviation pari a \(SD_L = 2.0985\). Calcolare l’investimento medio complessivo, considerando insieme i due campioni.
Esercizio 2
Un’urna contiene 10 palline: 4 Rosse, 4 Nere e 2 Bianche. Si estrae \(n=5\) volte con reintroduzione.
2.a (Punti 14/56; 7.75/31) Calcolare la probabilità di ottenere al massimo due palline Rosse su \(n = 5\) estrazioni,
\[\begin{eqnarray*} P( X \leq 2 ) &=& \binom{ 5 }{ 0 } 0.4 ^{ 0 }(1- 0.4 )^{ 5 - 0 }+\binom{ 5 }{ 1 } 0.4 ^{ 1 }(1- 0.4 )^{ 5 - 1 }+\binom{ 5 }{ 2 } 0.4 ^{ 2 }(1- 0.4 )^{ 5 - 2 } \\ &=& 0.0778+0.2592+0.3456 \\ &=& 0.6826 \end{eqnarray*}\]
2.b (Punti 3/56; 1.66/31) Un’urna contiene 10 palline: 4 Rosse, 4 Nere e 2 Bianche. Si estrae 2 volte senza reintroduzione. Calcolare la probabilità di osservare Rosso alla seconda estrazione.
\[\begin{eqnarray*} P(\text{Rosso alla seconda estrazione}) &=& P(R_1\cap R_2 \cup N_1\cap R_2\cup B_1\cap R_2)\\ &=& P(R_1\cap R_2)+P(N_1\cap R_2)+P(B_1\cap R_2)\\ &=& P(R_1)P(R_2| R_1)+P(N_1)P(R_2|N_1)+P(B_1)P(R_2|B_1)\\ &=& \frac 4{10}\cdot\frac 39 + \frac 4{10}\cdot\frac 49 + \frac 2{10}\cdot\frac 49 \\ &=& 0.4 \end{eqnarray*}\]
2.c (Punti 2/56; 1.11/31) Siano \(Z\sim N(0,1)\) e \(Y\sim N(0,1)\), \(Z\) e \(Y\) indipendenti. Come si distribuisce \[ X^2+Y^2\sim ~~~? \]
\[ X^2+Y^2 \sim\chi^2_2 ~~~~\text{Chi-quadro con 2 gradi di libertà} \]
2.d (Punti 2/56; 1.11/31) Sia \(X\) una VC e siano \(A=\{X\le -1.5\}\) e \(B=\{X > 1.2\}\). Posto \(P(A)=0.05\) e \(P(B)=0.05\), calcolare \(P(\bar A\cup \bar B)\). (suggerimento: individuare \(A\) e \(B\) sulla retta reale)
\[ \begin{eqnarray*} P( \bar A\cup \bar B) &=& P(\overline{\{X\le -1.5\}}\cup\overline{\{X > 1.2\}})\\ &=& P(\{X> -1.5\} \cup \{X \le 1.2\})\\ &=& P(-\infty<X<+\infty)\\ &=& 1 \end{eqnarray*} \]
Graficamente: l’unione dei due complementari è tutta la retta reale
Esercizio 3
3.a (Punti 14/56; 7.75/31) Un’urna contiene tre palline: 3 Rosse e 2 Nere. Si estrae 2 volte senza reimmissione. Si vince se si ottengono 2 Rosse. Si rimettono le palline nell’urna e si ripete il gioco 121 volte. Calcolare la probabilità di vincere almeno 35 volte.
\[ P(R_1\cap R_2)=\frac 35\cdot\frac 24 = \frac 3{10} \] Teorema del Limite Centrale (somma di Bernoulli)
Siano \(X_1\),…,\(X_n\), \(n=121\) VC IID, tc \(X_i\sim\text{Ber}(\pi=0.3)\)\(,\forall i\), posto: \[ S_n = X_1 + ... + X_n \] allora:\[\begin{eqnarray*} S_n & \mathop{\sim}\limits_{a}& N(n\pi,n\pi(1-\pi)) \\ &\sim & N(121\cdot0.3,121\cdot0.3\cdot(1-0.3)) \\ &\sim & N(36.3,25.41) \end{eqnarray*}\]\[\begin{eqnarray*} P( S_n > 35 ) &=& P\left( \frac { S_n - n\pi }{ \sqrt{n\pi(1-\pi)} } > \frac { 35 - 36.3 }{\sqrt{ 25.41 }} \right) \\ &=& P\left( Z > -0.26 \right) \\ &=& 1-P(Z< -0.26 )\\ &=& 1-(1-\Phi( 0.26 )) \\ &=& 0.6026 \end{eqnarray*}\]
Prova di Statistica (CLEA E CLEAM)
| COGNOME | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) |
| NOME | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) |
| Matricola | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) |
| Codice | H | E | V | F | C | 7 | 5 | 4 |
Esercizio 1
Su un campione di \(500\) piccole imprese meccaniche dell’Emilia-Romagna è stato rilevato l’utile realizzato nel periodo pandemico (espresso in migliaia di euro). Di seguito è riportata la distribuzione delle densità percentuali:
| \([\text{x}_j,\) | \(\text{x}_{j+1})\) | \(h_j\) |
|---|---|---|
| -50 | -10 | 0.52 |
| -10 | -1 | 5.20 |
| -1 | 2 | 10.40 |
| 2 | 4 | 0.60 |
1.a (Punti 14/56; 7.75/31) Calcolare il valore approssimato della mediana
| \([\text{x}_j,\) | \(\text{x}_{j+1})\) | \(n_j\) | \(f_j\) | \(b_j\) | \(h_j\) | \(F_j\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| -50 | -10 | 104 | 0.208 | 40 | 0.52 | 0.208 |
| -10 | -1 | 234 | 0.468 | 9 | 5.20 | 0.676 |
| -1 | 2 | 156 | 0.312 | 3 | 10.40 | 0.988 |
| 2 | 4 | 6 | 0.012 | 2 | 0.60 | 1.000 |
| 500 | 1.000 | 54 |
\[\begin{eqnarray*}
p &=& 0.5 , \text{essendo }F_{ 2 }= 0.676 >
0.5 \Rightarrow j_{ 0.5 }= 2 \\
x_{ 0.5 } &=& x_{\text{inf}; 2 } + \frac{ { 0.5 } - F_{ 1 }}
{f_{ 2 }} \cdot b_{ 2 } \\
&=& -10 + \frac {{ 0.5 } - 0.208 } { 0.468 }
\cdot 9 \\
&=& -4.385
\end{eqnarray*}\]
1.b (Punti 3/56; 1.66/31) Calcolare il numero di imprese con utile positivo
\[\begin{eqnarray*} \%(X> 0 ) &=& ( 2 - 0 )\times h_{ 3 }+ f_{ 4 }\times 100 \\ &=& ( 2 )\times 10.4 + ( 0.012 )\times 100 \\ &=& 0.22 \times(100)\\ \#(X> 0 ) &\approx& 110 \end{eqnarray*}\]
1.c (Punti 2/56; 1.11/31) Individuare la classe modale, metterla in relazione con la mediana calcolata al punto 1a. La media aritmetica è maggiore o minore della mediana? Perché?
1.d (Punti 2/56; 1.11/31) Si consideri la funzione \[ g(x) = (2-x)+(3-x)+(6-x) \] Per quale valore di \(x\), \(g(x)=0\)?
La media aritmetica rende nulla la somma degli scarti \[ \bar x = \frac{2+3+6}3=3.6667 \]
Esercizio 2
Due centri logistici, uno a Bologna e uno a Verona, registrano ogni giorno i tempi medi di consegna dei propri corrieri, espressi in minuti. A Bologna, il tempo medio di consegna è distribuito secondo \(X \sim N(48, 9)\), mentre a Verona, il tempo medio è distribuito secondo \(Y \sim N(42, 16)\), \(X\) e \(Y\) indipendenti. Il centro di Bologna è considerato in ritardo se il tempo medio supera i 52 minuti \(A=\{X>52\}\); quello di Verona è considerato in ritardo se supera i 46 minuti \(B=\{Y>46\}\).
2.a (Punti 14/56; 7.75/31) Calcolare la probabilità che entrambi i centri risultino in ritardo in un giorno.
\[\begin{eqnarray*} P( X > 52 ) &=& P\left( \frac { X - \mu_X }{ \sigma_X } > \frac { 52 - 48 }{\sqrt{ 9 }} \right) \\ &=& P\left( Z > 1.33 \right) \\ &=& 1-P(Z< 1.33 )\\ &=& 1-\Phi( 1.33 ) \\ &=& 0.0918 \end{eqnarray*}\]\[\begin{eqnarray*} P( Y > 46 ) &=& P\left( \frac { Y - \mu_Y }{ \sigma_Y } > \frac { 46 - 42 }{\sqrt{ 16 }} \right) \\ &=& P\left( Z > 1 \right) \\ &=& 1-P(Z< 1 )\\ &=& 1-\Phi( 1 ) \\ &=& 0.1587 \end{eqnarray*}\]
\[\begin{eqnarray*} P(A\cap B) &=& P(A)P(B)\\ &=& 0.0146 \end{eqnarray*}\]
2.b (Punti 3/56; 1.66/31) Sia \(X \sim N(48, 9)\), sapendo che \(C=\{X>48\}\) qual è la probabilità di \(A=\{X>52\}\) (\(P(A|C)\))?
\[\begin{eqnarray*} P(X>52|X>48) &=& \frac{P(\{X>52\}\cap \{X>48\})}{P(X>48)}\\ &=& \frac{P(X>52)}{P(X>48)}\\ &=& \frac{0.0918}{0.5}\\ &=& 0.1835 \end{eqnarray*}\]
2.c (Punti 2/56; 1.11/31) Siano \(X\sim \text{Pois}(\lambda=1.6)\) e \(Y\sim \text{Pois}(\lambda=2.1)\), \(X\) e \(Y\) indipendenti. Come si distribuisce \[ X+Y\sim~~~? \]
\[ X+Y \sim\text{Pois}(\lambda=1.6+2.1) \]
2.d (Punti 2/56; 1.11/31) Sia \(X\) una VC e siano \(A=\{X\le 10\}\) e \(B=\{X > 35\}\). Posto \(P(A)=0.15\) e \(P(B)=0.05\), calcolare \(P(\bar A\cup B)\). (suggerimento: individuare \(A\) e \(B\) sulla retta reale)
\[\begin{eqnarray*} P( A\cup B) &=& P(\overline{\{X\le 10\}}\cup\{X > 35\})\\ &=& P(\{X> 10\}\cup\{X > 35\})\\ &=& P(X> 10)\\ &=& 1-P(X\le 10)\\ &=& 0.85 \end{eqnarray*}\] Graficamente:
Esercizio 3
3.a (Punti 14/56; 7.75/31) Un’urna contiene 2 palline numerate con \(\fbox{0}\), 3 numerate con \(\fbox{1}\) e 2 numerate con \(\fbox{2}\). Si estrae 100 volte con reinserimento. Qual è la probabilità che la media delle 100 estrazioni sia maggiore di 0.95?
\[\begin{eqnarray*} \mu &=& E(X_i) = \sum_{x\in S_X}x P(X=x)\\ &=& 0 \frac { 2 }{ 7 }+ 1 \frac { 3 }{ 7 }+ 2 \frac { 2 }{ 7 } \\ &=& 1 \\ \sigma^2 &=& V(X_i) = \sum_{x\in S_X}x^2 P(X=x)-\mu^2\\ &=&\left( 0 ^2\frac { 2 }{ 7 }+ 1 ^2\frac { 3 }{ 7 }+ 2 ^2\frac { 2 }{ 7 } \right)-( 1 )^2\\ &=& 0.5714 \end{eqnarray*}\] Teorema del Limite Centrale (media VC qualunque)
Siano \(X_1\),…,\(X_n\), \(n=100\) VC IID, tc \(E(X_i)=\mu=1\) e \(V(X_i)=\sigma^2=0.5714,\forall i\), posto: \[ \bar X=\frac{S_n}n =\frac{X_1 + ... + X_n}n \] allora:\[\begin{eqnarray*} \bar X & \mathop{\sim}\limits_{a}& N(\mu,\sigma^2/n) \\ &\sim & N\left(1,\frac{0.5714}{100}\right) \\ &\sim & N(1,0.005714) \end{eqnarray*}\]\[\begin{eqnarray*} P( \bar X > 0.95 ) &=& P\left( \frac { \bar X - \mu }{ \sqrt{\sigma^2/n} } > \frac { 0.95 - 1 }{\sqrt{ 0.005714 }} \right) \\ &=& P\left( Z > -0.66 \right) \\ &=& 1-P(Z< -0.66 )\\ &=& 1-(1-\Phi( 0.66 )) \\ &=& 0.7454 \end{eqnarray*}\]
Prova di Statistica (CLEA E CLEAM)
| COGNOME | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) |
| NOME | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) |
| Matricola | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) | \(\LARGE\square\) |
| Codice | A | F | 0 | M | N | 8 | J | Q |
Esercizio 1
Un consorzio agroalimentare ha monitorato l’ammontare delle vendite mensili (in migliaia di euro) di un campione di 50 aziende agricole del Centro Italia, nel corso dell’anno 2023. Di seguito è riportata la distribuzione delle frequenze cumulate, raggruppate in classi di vendita.
| \([\text{x}_j,\) | \(\text{x}_{j+1})\) | \(F_j\) |
|---|---|---|
| 0 | 5 | 0.06 |
| 5 | 7 | 0.34 |
| 7 | 8 | 0.66 |
| 8 | 10 | 0.94 |
| 10 | 15 | 1.00 |
1.a (Punti 14/56; 7.75/31) Disegnare l’istogramma delle densità percentuali.
| \([\text{x}_j,\) | \(\text{x}_{j+1})\) | \(n_j\) | \(f_j\) | \(b_j\) | \(h_j\) |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 5 | 3 | 0.06 | 5 | 1.2 |
| 5 | 7 | 14 | 0.28 | 2 | 14.0 |
| 7 | 8 | 16 | 0.32 | 1 | 32.0 |
| 8 | 10 | 14 | 0.28 | 2 | 14.0 |
| 10 | 15 | 3 | 0.06 | 5 | 1.2 |
| 50 | 1.00 | 15 |
1.b (Punti 3/56; 1.66/31) Qual è la percentuale di aziende che hanno venduto meno di 8.5 mila euro?
\[\begin{eqnarray*} \%(X< 8.5 ) &=& f_{ 1 }\times 100+f_{ 2 }\times 100+f_{ 3 }\times 100 +( 8.5 - 8 )\times h_{ 4 } \\ &=& ( 0.06 )\times 100+( 0.28 )\times 100+( 0.32 )\times 100 +( 0.5 )\times 14 \\ &=& 0.73 \times(100) \\ \#(X< 8.5 ) &\approx& 36 \end{eqnarray*}\]
1.c (Punti 2/56; 1.11/31) Che relazione dobbiamo aspettarci tra media, mediana e moda?
1.d (Punti 2/56; 1.11/31) Si consideri la funzione \[ g(x) = |7-x|+|3-x|+|5-x| \] Per quale valore di \(x\), \(g\) è minima?
La mediana rende minima la somma dei valori assoluti degli scarti \[ x_{0.5}=5 \]
Esercizio 2
Un’azienda che produce macchinari per imballaggio ha due stabilimenti \(A\) e \(B\), nello stabilimento \(A\) il numero di macchinari prodotti a settimana è distribuito come una Poisson di parametro 1.5 \(X_A\sim\text{Pois}(1.5)\), mentre nello stabilimento \(B\) il numero di macchinari prodotti a settimana è distribuito come una Poisson di parametro 0.8 \(X_B\sim\text{Pois}(0.8)\), \(X_A\) e \(X_B\) indipendenti.
2.a (Punti 14/56; 7.75/31) Calcolare la probabilità che il totale prodotto (\(X_A + X_B\)) in una settimana sia maggiore o uguale a due.
\[ X_A + X_B \sim \text{Pois}(1.5+0.8) \] \[\begin{eqnarray*} P( X_A+X_B \geq 2 ) &=& 1-P( X_A+X_B < 2 ) \\ &=& 1-\left( \frac{ 2.3 ^{ 0 }}{ 0 !}e^{- 2.3 }+\frac{ 2.3 ^{ 1 }}{ 1 !}e^{- 2.3 } \right)\\ &=& 1-( 0.1003+0.2306 )\\ &=& 1- 0.3309 \\ &=& 0.6691 \end{eqnarray*}\]
2.b (Punti 3/56; 1.66/31) Sapendo \(E=\{X_A + X_B \ge 1\}\) qual è la probabilità che \(F=\{X_A + X_B \ge 2\}\) (\(P(F|E)\))?
\[\begin{eqnarray*} X_A + X_B &\sim& \text{Pois}(1.5 + 0.8) = \text{Pois}(2.3)\\ F \cap E &=& \{X_A + X_B \ge 2\}\\ \end{eqnarray*}\] \[\begin{eqnarray*} P( X_A+X_B \geq 1 ) &=& 1-P( X_A+X_B < 1 ) \\ &=& 1-\left( \frac{ 2.3 ^{ 0 }}{ 0 !}e^{- 2.3 } \right)\\ &=& 1-( 0.1003 )\\ &=& 1- 0.1003 \\ &=& 0.8997 \end{eqnarray*}\]
\[\begin{eqnarray*} P(F \mid E) &=& \frac{P(F \cap E)}{P(E)}\\ &=& \frac{P(X_A + X_B \ge 2)}{P(X_A + X_B \ge 1)}\\ &=& \frac{0.6691}{0.8997}\\ &=& 0.7437 \end{eqnarray*}\]
2.c (Punti 2/56; 1.11/31) Sia \(Z\sim N(0,1)\) e \(Y\sim \chi^2_{n-1}\), dove \(n\ge 2\) è un numero intero, \(Z\) e \(Y\) indipendenti. Come si distribuisce \[ \frac{Z}{\sqrt{\frac {Y}{n-1}}}\sim ~~~? \]
\[ \frac{Z}{\sqrt{\frac {Y}{n-1}}}\sim t_{n-1} ~~~~ \text{è una $t$ di Sudent con $n-1$ gradi di libertà} \]
2.d (Punti 2/56; 1.11/31) Sia \(X\) una VC e siano \(A=\{X> 1.5\}\) e \(B=\{X > 3.2\}\). Posto \(P(A)=0.90\) e \(P(B)=0.15\), calcolare \(P(\bar A\cup B)\). (suggerimento: individuare \(A\) e \(B\) sulla retta reale)
\[\begin{eqnarray*} P(\bar A\cup B) &=& P(\{X\le 1.5\}\cup\{X > 3.2\})\\ &=& P(X\le 1.5)+P(X > 3.2)\\ &=& 0.10 + 0.15\\ &=& 0.25 \end{eqnarray*}\] Graficamente: se la coda di sinistra ha probabilità 0.10 e quella di destra probabilità 0.15 la somma delle due code è 0.25.
Esercizio 3
3.a (Punti 14/56; 7.75/31) Un’urna contiene 2 palline numerate con \(\fbox{0}\), 3 numerate con \(\fbox{1}\) e 2 numerate con \(\fbox{2}\). Si estrae 1000 volte con reinserimento. Qual è la probabilità che la somma delle 1000 estrazioni sia maggiore di 976?
\[\begin{eqnarray*} \mu &=& E(X_i) = \sum_{x\in S_X}x P(X=x)\\ &=& 0 \frac { 2 }{ 7 }+ 1 \frac { 3 }{ 7 }+ 2 \frac { 2 }{ 7 } \\ &=& 1 \\ \sigma^2 &=& V(X_i) = \sum_{x\in S_X}x^2 P(X=x)-\mu^2\\ &=&\left( 0 ^2\frac { 2 }{ 7 }+ 1 ^2\frac { 3 }{ 7 }+ 2 ^2\frac { 2 }{ 7 } \right)-( 1 )^2\\ &=& 0.5714 \end{eqnarray*}\] Teorema del Limite Centrale (somma VC qualunque)
Siano \(X_1\),…,\(X_n\), \(n=1000\) VC IID, tc \(E(X_i)=\mu=1\) e \(V(X_i)=\sigma^2=0.5714,\forall i\), posto: \[ S_n = X_1 + ... + X_n \] allora:\[\begin{eqnarray*} S_n & \mathop{\sim}\limits_{a}& N(n\mu,n\sigma^2) \\ &\sim & N(1000\cdot1,1000\cdot0.5714) \\ &\sim & N(1000,571.4) \end{eqnarray*}\]\[\begin{eqnarray*} P( S_n > 976 ) &=& P\left( \frac { S_n - n\mu }{ \sqrt{n\sigma^2} } > \frac { 976 - 1000 }{\sqrt{ 571.4 }} \right) \\ &=& P\left( Z > -1 \right) \\ &=& 1-P(Z< -1 )\\ &=& 1-(1-\Phi( 1 )) \\ &=& 0.8413 \end{eqnarray*}\]