Prova del 12 giugno 2026
Prova di Statistica A
Esercizio 1
Su un campione di \(200\) aziende con più di 50 addetti dell’Emilia-Romagna è stato rilevato l’investimento effettuato negli ultimi 5 anni in intelligenza artificiale (espresso in milioni di euro). Di seguito è riportata la distribuzione delle frequenze percentuali:
| \([\text{x}_j,\) | \(\text{x}_{j+1})\) | \(f_{j\%}\) |
|---|---|---|
| 0 | 1 | 65 |
| 1 | 3 | 25 |
| 3 | 5 | 5 |
| 5 | 10 | 5 |
| 100 |
1.a (pt 3.9/31→13/103) Disegnare l’istogramma di densità percentuale.
| \([\text{x}_j,\) | \(\text{x}_{j+1})\) | \(n_j\) | \(f_j\) | \(b_j\) | \(h_j\) |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 130 | 0.65 | 1 | 65.0 |
| 1 | 3 | 50 | 0.25 | 2 | 12.5 |
| 3 | 5 | 10 | 0.05 | 2 | 2.5 |
| 5 | 10 | 10 | 0.05 | 5 | 1.0 |
| 200 | 1.00 | 10 |
1.b (pt 1.2/31→4/103) Qual è il numero di aziende che hanno investito tra il 25-esimo e il 75-esimo percentile?
Per definizione \(\%(x_{0.25}<X<x_{0.75})=50\%\) e \(\#(x_{0.25}<X<x_{0.75})\approx0.5\times200 =100\)
1.c (pt 0.6/31→2/103) Che relazione dobbiamo aspettarci tra media, mediana e moda?
1.d (pt 0.6/31→2/103) Siano \(x_1,...,x_{10}\), \(n=10\) numeri tali che \[ \sum_{i=1}^{10} x_i = 15 \] Posto \[ g(x)=\sum_{i=1}^{10}(x_i-x)^2 \] calcolare il valore di \(x\) che minimizza \(g\).
Esercizio 2
Un processo viene svolto da due agenti AI, \(A\) e \(B\). L’agente \(A\) commette un numero di allucinazioni che è distribuito secondo una Poisson di parametro 0.05, \(X_A \sim \text{Pois}(0.05)\), mentre per l’agente \(B\) il numero di allucinazioni è distribuito secondo una Poisson di parametro 0.03, \(X_B \sim \text{Pois}(0.03)\), \(X_A\) e \(X_B\) indipendenti. Il processo finale viene considerato inconsistente se gli agenti hanno commesso almeno una allucinazione (\(X_A+X_B\ge 1\)).
2.a (pt 3.9/31→13/103) Calcolare la probabilità che il processo sia inconsistente (\(X_A + X_B\ge 1\)).
\[ X_A + X_B \sim \text{Pois}(0.05+0.03) \] \[\begin{eqnarray*} P( X_A+X_B \geq 1 ) &=& 1-P( X_A+X_B < 1 ) \\ &=& 1-\left( \frac{ 0.08 ^{ 0 }}{ 0 !}e^{- 0.08 } \right)\\ &=& 1-( 0.9231 )\\ &=& 1- 0.9231 \\ &=& 0.0769 \end{eqnarray*}\]
2.b (pt 1.2/31→4/103) Si considerino \(n=5\) ripetizioni indipendenti del processo. Per ogni ripetizione \(i\), sia \(X_i=X_A+X_B\) il numero totale di allucinazioni commesse dai due agenti nel processo \(i\).
Calcolare la probabilità che almeno uno dei 5 processi risulti inconsistente, cioè che in almeno una ripetizione si abbia \(X_i\ge 1\). (Suggerimento: l’evento complementare di “almeno uno dei 5 processi è inconsistente” è “nessuno dei 5 processi è inconsistente”)
\[\begin{eqnarray*} P(X_A + X_B \ge 1) &=& 1 - P(X_A + X_B = 0) \\ &=& 0.0769\\ P(\text{almeno una volta}) &=& 1-P(\text{nessuna volta})\\ &=& 1-(1-0.0769)^5\\ &=& 0.3297 \end{eqnarray*}\]
2.c (pt 0.6/31→2/103) Sia \(Z\sim N(0,1)\) e \(Y\sim \text{Binom}(5,0.4)\), \(Z\) e \(Y\) indipendenti. Calcolare \(E(Z-Y)\) e \(V(Z-Y)\).
essendo
\[\begin{align} E(Z) &= 0; & \qquad V(Z) & = 1\\ E(Y) &=5\times 0.4 = 2; & \qquad V(Y) & = 5\times 0.4\times(1-0.4)=1.2\\ \end{align}\]
e quindi
\[\begin{eqnarray*} E(Z-Y) &=& 0-2\\ V(Z-Y) &=& 1+1.2\\ \end{eqnarray*}\]
2.d (pt 0.6/31→2/103) Siano \(A\ne\emptyset\) e \(B\ne\emptyset\), tali che \(A\cap B = \emptyset\), \(A\) e \(B\) possono essere indipendenti? Perché?
Esercizio 3
3.a (pt 3.9/31→13/103) Un’urna contiene 1 pallina numerata con \(\fbox{0}\), 3 numerate con \(\fbox{1}\) e 1 numerata con \(\fbox{2}\). Si vince se esce \(\fbox{1}\) oppure \(\fbox{2}\) e si perde altrimenti. Si estrae 80 volte con reinserimento. Qual è la probabilità che la proporzione di vincite sia maggiore di 0.75?
Teorema del Limite Centrale (proporzione)
Siano \(X_1\),…,\(X_n\), \(n=80\) VC IID, tc \(X_i\sim\text{Ber}(\pi=0.8)\)\(,\forall i\), posto: \[ \hat\pi=\frac{S_n}n = \frac{X_1 + ... + X_n}n \] allora:\[\begin{eqnarray*} \hat\pi & \mathop{\sim}\limits_{a}& N(\pi,\pi(1-\pi)/n) \\ &\sim & N\left(0.8,\frac{0.8\cdot(1-0.8)}{80}\right) \\ &\sim & N(0.8,0.002) \end{eqnarray*}\]\[\begin{eqnarray*} P( \hat\pi > 0.75 ) &=& P\left( \frac { \hat\pi - \pi }{ \sqrt{\pi(1-\pi)/n} } > \frac { 0.75 - 0.8 }{\sqrt{ 0.002 }} \right) \\ &=& P\left( Z > -1.12 \right) \\ &=& 1-P(Z< -1.12 )\\ &=& 1-(1-\Phi( 1.12 )) \\ &=& 0.8686 \end{eqnarray*}\]
Esercizio 4
4.a (pt 0.9/31→3/103) Siano \(\hat\beta_0\), \(\hat\beta_1\) e \(\hat\sigma_\varepsilon\) gli stimatori di massima verosimiglianza di, \(\beta_0\), \(\beta_1\) e \(\sigma_\varepsilon\), del modello di regressione lineare semplice \[ y_i = \beta_0 + \beta_1 x_i +\varepsilon_i, ~\varepsilon_i\sim N(0,\sigma^2_\varepsilon),\forall i=1,...,n \] Dimostrare la consistenza di \(\hat\beta_0\).
Sappiamo che \(\hat\beta_0\) è stimatore corretto di \(\beta_0\) (teroema di Gauss-Markov): \[ E(\hat\beta_0)=\beta_0 \] Quindi, essendo corretto \[\begin{eqnarray} MSE(\hat\beta_0) &=& V(\hat\beta_0)\\ &=&\sigma_{\varepsilon}^{2} \left( \frac{1} {n} + \frac{\bar{x}^{2}} {n \hat{\sigma}^{2}_{X}} \right)\qquad\text{dal formulario} \end{eqnarray}\] Siccome \[ \lim_{n\to\infty}\sigma_{\varepsilon}^{2} \left( \frac{1} {n} + \frac{\bar{x}^{2}} {n \hat{\sigma}^{2}_{X}} \right)=0 \] allora \(\hat\beta_0\) è stimatore consistente di \(\beta_0\).
4.b (pt 0.9/31→3/103) Siano \(\hat\theta_1\) e \(\hat\theta_2\) due stimatori corretti per \(\theta\), cosa significa dire che \(\hat\theta_1\) è più efficiente di \(\hat\theta_2\)?
4.c (pt 0.9/31→3/103) Definire gli errori di primo e secondo tipo di un test statistico e le relative probabilità.
Si definiscono
- L’errore di primo tipo è l’errore che si commette scegliendo \(H_1\) quando è vera \(H_0\).
- L’errore di secondo tipo è l’errore che si commette scegliendo \(H_0\) quando è vera \(H_1\).
| decido \(H_0\) | decido \(H_1\) | ||
|---|---|---|---|
| stato di natura | \(H_0\) | \(1-\alpha\) | \(\alpha\) |
| stato di natura | \(H_1\) | \(\beta\) | \(1-\beta\) |
\[\alpha=P(\text{Errore I tipo})=P(\text{Decidere $H_1$};H_0)\]
\[\beta=P(\text{Errore II tipo})=P(\text{Decidere $H_0$};H_1)\]
- \(\alpha\) è il livello di significatività del test, \(\alpha\) è la probabilità di scegliere \(H_1\) quando invece è vera \(H_0\).
- \(\beta\) è la probabilità di scegliere \(H_0\) quando invece è vera \(H_1\).
4.d (pt 0.9/31→3/103) In un sondaggio su 160 persone è stato chiesto il livello di utilizzo di strumenti di Intelligenza Artificiale (Basso, Medio, Alto) e l’opinione sul loro impatto nel mondo del lavoro (Favorevole, Contrario).
|
Livello di utilizzo
|
|||
|---|---|---|---|
| Basso | Medio | Alto | |
| Opinione | |||
| Favorevole | 30 | 10 | 35 |
| Contrario | 20 | 40 | 25 |
Eseguito il test del \(\chi^2\) per verificare l’indipendenza tra il livello di utilizzo degli strumenti di AI e l’opinione sul loro impatto nel mondo del lavoro, si ottiene un \(p_\text{value}=0.00002588\). Possiamo concludere che il livello di utilizzo e l’opinione sul loro impatto nel mondo del lavoro sono indipendenti? Perché?
Essendo \(p_\text{value}=0.00002588<0.001\) il test è estremamente significativo, si rifiuta l’indipendenza tra il livello di utilizzo e l’opinione sull’impatto ad un livello di significatività inferiore all’1 per mille.
Esercizio 5
In uno studio su \(n=50\) municipalità dell’Unione Europea, sono stati analizzati il tasso di disoccupazione giovanile (in percentuale, \(X\)) e la disponibilità di aree verdi urbane (in metri quadrati per abitante, \(Y\)).
Si sono osservate le seguenti statistiche: \[\begin{align*} \sum_{i=1}^n x_i &= 498, &\sum_{i=1}^n x_i^2 &= 5025.18 & \\ \sum_{i=1}^n y_i &= 1289.27, &\sum_{i=1}^n y_i^2 &= 36923.54 &\sum_{i=1}^n x_iy_i &= 12393.43. \end{align*}\]
5.a (pt 3.9/31→13/103) Per la regione \(R\) si è osservato \(x_R=10.6\) e \(y_R=24.48\), stimare il modello di regressione dove \(Y\) viene spiegata da \(X\) e calcolare il residuo per la regione \(R\).
\[\begin{eqnarray*} \bar x &=&\frac 1 n\sum_{i=1}^n x_i = \frac {1}{ 50 } 498 = 9.96 \\ \bar y &=&\frac 1 n\sum_{i=1}^n y_i = \frac {1}{ 50 } 1289.27 = 25.79 \\ \hat\sigma_X^2&=&\frac 1 n\sum_{i=1}^n x_i^2-\bar x^2=\frac {1}{ 50 } 5025 - 9.96 ^2= 1.302 \\ \hat\sigma_Y^2&=&\frac 1 n\sum_{i=1}^n y_i^2-\bar y^2=\frac {1}{ 50 } 36924 - 25.7854 ^2= 73.58 \\ \text{cov}(X,Y)&=&\frac 1 n\sum_{i=1}^n x_i~y_i-\bar x\bar y=\frac {1}{ 50 } 12393 - 9.96 \cdot 25.7854 = -8.954 \\ \hat\beta_1 &=& \frac{\text{cov}(X,Y)}{\hat\sigma_X^2} \\ &=& \frac{ -8.954 }{ 1.302 } = -6.877 \\ \hat\beta_0 &=& \bar y - \hat\beta_1 \bar x\\ &=& 25.79 - (-6.8771) \times 9.96 = 94.28 \end{eqnarray*}\]\[\begin{eqnarray*} \hat y_i &=&\hat\beta_0+\hat\beta_1 x_i=\\ &=& 94.28 + (-6.8771) \times 10.6 = 21.38 \\ \hat \varepsilon_i &=& y_i-\hat y_i\\ &=& 24.48 - 21.3841 = 3.098 \end{eqnarray*}\]
5.b (pt 1.2/31→4/103) Determinare la percentuale di varianza spiegata dal modello.
\[\begin{eqnarray*} r&=&\frac{\text{cov}(X,Y)}{\sigma_X\sigma_Y}=\frac{ -8.954 }{ 1.141 \times 8.578 }= -0.9148 \\ r^2&=& 0.8368 > 0.75 \end{eqnarray*}\]
Il modello si adatta bene ai dati.
Il modello spiega il \(83.68\%\) della variabilità totale della \(Y\).
5.c (pt 3.9/31→13/103) Testare l’ipotesi che \(\beta_1 = -5\) contro l’alternativa che sia diverso, per \(\alpha=0.1,0.05,0.01,0.001\) e dare una valutazione approssimativa del \(p_\text{value}\) (ad esempio il \(p_\text{value}\) è minore di 0.001, compreso tra 0.05 e tra 0.01, ecc.).
\(\fbox{A}\) FORMULAZIONE DELLE IPOTESI
\[\begin{cases} H_0: \beta_1 = \beta_{1;H_0}=-5.5 \\ H_1: \beta_1 \neq \beta_{1;H_0}=-5.5 \end{cases}\]
\(\fbox{B}\) SCELTA E CALCOLO STATISTICA-TEST, \(T\) Test su un coefficiente di regressione: \(\Rightarrow\) t-Test.
\[\begin{eqnarray*} \hat{\sigma_\varepsilon}^2&=&(1-r^2)\hat\sigma_Y^2\\ &=& (1- 0.8369 )\times 73.58 \\ &=& 12.01 \\ S_\varepsilon^2 &=& \frac{n} {n-2} \hat{\sigma_\varepsilon}^2\\ &=& \frac{ 50 } { 50 -2} \hat{\sigma_\varepsilon}^2 \\ &=& \frac{ 50 } { 50 -2} \times 12.01 = 12.51 \end{eqnarray*}\]
E quindi\[\begin{eqnarray*} V(\hat\beta_{1}) &=& \frac{\sigma_{\varepsilon}^{2}} {n \hat{\sigma}^{2}_{X}} \\ \widehat{V(\hat\beta_{1})} &=& \frac{S_{\varepsilon}^{2}} {n \hat{\sigma}^{2}_{X}} \\ &=& \frac{ 12.51 } { 50 \times 1.302 } = 0.1921 \\ \widehat{SE(\hat\beta_{1})} &=& \sqrt{ 0.1921 }\\ &=& 0.4383 \end{eqnarray*}\]
\[\begin{eqnarray*} \frac{\hat\beta_{ 1 } - \beta_{ 1 ;H_0}} {\widehat{SE(\hat\beta_{ 1 })}}&\sim&t_{n-2}\\ t_{\text{obs}} &=& \frac{ ( -6.877 - -5.5 )} { 0.4383 } = -3.142 \, . \end{eqnarray*}\]
\(\fbox{C}\) CONCLUSIONE
Siccome \(H_1\) è bilaterale, considereremo \(\alpha/2\), anziché \(\alpha\)
\(\alpha=0.1, 0.05, 0.01, 0.001\) e quindi \(\alpha/2=0.05, 0.025, 0.005, 0.0005\)
I valori critici sono
\(t_{50-2;0.05}=1.6772\); \(t_{50-2;0.025}=2.0106\); \(t_{50-2;0.005}=2.6822\); \(t_{50-2;0.0005}=3.5051\)
Siccome \(2.6822<|t_\text{obs}|=3.1416<3.5051\), quindi rifiuto \(H_0\) all’1%,
\(0.001<p_\text{value}<0.01\), molto significativo \(\fbox{**}\).
Il \(p_{\text{value}}\) è
\[ p_{\text{value}} = P(|T_{50-2}|>|-3.14|)=2P(T_{50-2}>3.14)=0.002877 \]
Attenzione il calcolo del \(p_\text{value}\) con la \(T\) è puramente illustrativo e non può essere riprodotto senza una calcolatrice statistica adeguata.\[ 0.001 < p_\text{value}= 0.002877 \leq 0.01 \]
5.d (pt 0.6/31→2/103) Perché, nel modello stimato al punto 5a, una previsione per \(x=10\) è più precisa di una previsione per \(x=100\)?
5.e (pt 0.6/31→2/103) Se in un modello di regressione lineare \(\hat\beta_1 =0\) quanto vale \(r\)?
5.f (pt 0.6/31→2/103) In un modello di regressione lineare, cosa comporta \(r=-1\)?
Prova di Statistica B
Esercizio 1
Su un campione di \(150\) aziende con più di 50 addetti dell’Emilia-Romagna è stato rilevato l’investimento effettuato negli ultimi 5 anni in intelligenza artificiale (espresso in milioni di euro). Di seguito è riportata la distribuzione delle densità percentuali:
| \([\text{x}_j,\) | \(\text{x}_{j+1})\) | \(h_j\) |
|---|---|---|
| 0 | 1 | 30.0 |
| 1 | 2 | 40.0 |
| 2 | 6 | 5.0 |
| 6 | 10 | 2.5 |
1.a (pt 3.9/31→13/103) Calcolare il valore approssimativo della mediana.
| \([\text{x}_j,\) | \(\text{x}_{j+1})\) | \(n_j\) | \(f_j\) | \(b_j\) | \(h_j\) |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 45 | 0.3 | 1 | 30.0 |
| 1 | 2 | 60 | 0.4 | 1 | 40.0 |
| 2 | 6 | 30 | 0.2 | 4 | 5.0 |
| 6 | 10 | 15 | 0.1 | 4 | 2.5 |
| 150 | 1.0 | 10 |
\[\begin{eqnarray*}
p &=& 0.5 , \text{essendo }F_{ 2 }= 0.7 >
0.5 \Rightarrow j_{ 0.5 }= 2 \\
x_{ 0.5 } &=& x_{\text{inf}; 2 } + \frac{ { 0.5 } - F_{ 1 }}
{f_{ 2 }} \cdot b_{ 2 } \\
&=& 1 + \frac {{ 0.5 } - 0.3 } { 0.4 }
\cdot 1 \\
&=& 1.5
\end{eqnarray*}\]
1.b (pt 1.2/31→4/103) Qual è il numero approssimativo di aziende che hanno investito più di 3 milioni di euro?
\[\begin{eqnarray*} \%(X> 3 ) &=& ( 6 - 3 )\times h_{ 3 }+ f_{ 4 }\times 100 \\ &=& ( 3 )\times 5 + ( 0.1 )\times 100 \\ &=& 0.25 \times(100)\\ \#(X> 3 ) &\approx& 38 \end{eqnarray*}\]
1.c (pt 0.6/31→2/103) Sapendo che le media è pari a \(2.4\) e considerata la mediana calcolata al punto 1.a, che forma avrà l’istogramma di densità?
1.d (pt 0.6/31→2/103) L’investimento medio è pari a \(\bar x=2.4\), mentre la varianza è pari a \(\sigma^2=5.1\). Se ogni impresa aumentasse il proprio investimento di un milione di euro, quanto varrebbero la media e la varianza dei dati così trasformati?
\[ \bar y= 3.4 ~~~~~~~~ \sigma^2_Y= 5.1 \]
Esercizio 2
Un processo viene svolto da due agenti AI in sequenza, prima \(A\) e poi \(B\). Il tempo impiegato dall’agente \(A\), misurato in secondi, è distribuito secondo una Normale con media 8 e varianza 1, \(X_A \sim N(8,1)\), mentre il tempo impiegato dall’agente \(B\) è distribuito secondo una Normale con media 10 e varianza 3, \(X_B \sim N(10,3)\), con \(X_A\) e \(X_B\) indipendenti. Il processo finale viene considerato troppo lento se il tempo complessivo supera 22 secondi.
2.a (pt 3.9/31→13/103) Calcolare la probabilità che il processo sia troppo lento (\(P(X_A+X_B>22)\)).
\[ X=X_A + X_B \sim N(8+10,1+3) \] \[\begin{eqnarray*} P( X > 22 ) &=& P\left( \frac { X - \mu }{ \sigma } > \frac { 22 - 18 }{\sqrt{ 4 }} \right) \\ &=& P\left( Z > 2 \right) \\ &=& 1-P(Z< 2 )\\ &=& 1-\Phi( 2 ) \\ &=& 0.0228 \end{eqnarray*}\]
2.b (pt 1.2/31→4/103) Calcolare \(P(X_A + X_B\le 23|X_A + X_B> 22)\).
\[ X=X_A + X_B \sim N(8+10,1+3) \]
\[\begin{eqnarray*} P(X\le 23|X> 22) &=& \frac{P(X\le 23\cap X> 22)}{P(X> 22)}\\ &=& \frac{P(22<X\le 23)}{P(X> 22)}\\ &=& \frac{0.9938-0.9772}{0.0228}\\ &=& 0.727 \end{eqnarray*}\]
2.c (pt 0.6/31→2/103) Siano \(X_1\sim \text{Ber}(0.5)\), \(X_2\sim \text{Ber}(0.5)\) e \(X_3\sim \text{Ber}(0.5)\), 3 Bernoulli indipendenti. Come si distribuisce \(X=X_1+X_2+X_3\)?
\[ X_1+X_2+X_3 \sim \text{Binom}(3,0.5) \]
2.d (pt 0.6/31→2/103) Siano \(A\) e \(B\) due eventi, tali che \(P(B|A)=0.5\), \(P(B|\bar A)=0.4\) e \(P(A)=0.3\), calcolare \(P(B)\).
\[\begin{eqnarray*} P(B) &=& P(B|A)P(A)+P(B|bar A)P(\bar A)\\ &=& 0.5\times 0.3+ 0.4\times(1-0.3)\\ &=& 0.43 \end{eqnarray*}\]
Esercizio 3
3.a (pt 3.9/31→13/103) Un’urna contiene 1 pallina numerata con \(\fbox{0}\), 3 numerate con \(\fbox{1}\) e 1 numerata con \(\fbox{2}\). Si vince se esce \(\fbox{1}\) oppure \(\fbox{2}\) e si perde altrimenti. Si estrae 80 volte con reinserimento. Qual è la probabilità di vincere meno di 60 volte?
Teorema del Limite Centrale (somma di Bernoulli)
Siano \(X_1\),…,\(X_n\), \(n=80\) VC IID, tc \(X_i\sim\text{Ber}(\pi=0.8)\)\(,\forall i\), posto: \[ S_n = X_1 + ... + X_n \] allora:\[\begin{eqnarray*} S_n & \mathop{\sim}\limits_{a}& N(n\pi,n\pi(1-\pi)) \\ &\sim & N(80\cdot0.8,80\cdot0.8\cdot(1-0.8)) \\ &\sim & N(64,12.8) \end{eqnarray*}\]\[\begin{eqnarray*} P( S_n < 60 ) &=& P\left( \frac { S_n - n\pi }{ \sqrt{n\pi(1-\pi)} } < \frac { 60 - 64 }{\sqrt{ 12.8 }} \right) \\ &=& P\left( Z < -1.12 \right) \\ &=& 1-\Phi( 1.12 ) \\ &=& 0.1314 \end{eqnarray*}\]
Esercizio 4
4.a (pt 0.9/31→3/103) Siano \(\hat\beta_0\), \(\hat\beta_1\) e \(\hat\sigma_\varepsilon\) gli stimatori di massima verosimiglianza di, \(\beta_0\), \(\beta_1\) e \(\sigma_\varepsilon\), del modello di regressione lineare semplice \[ y_i = \beta_0 + \beta_1 x_i +\varepsilon_i, ~\varepsilon_i\sim N(0,\sigma^2_\varepsilon),\forall i=1,...,n \] Dimostrare la consistenza di \(\hat\beta_1\).
Sappiamo che \(\hat\beta_1\) è stimatore corretto di \(\beta_1\) (teorema di Gauss-Markov): \[ E(\hat\beta_1)=\beta_1 \] Quindi, essendo corretto \[\begin{eqnarray} MSE(\hat\beta_1) &=& V(\hat\beta_1)\\ &=&\frac{\sigma_{\varepsilon}^{2}} {n \hat{\sigma}^{2}_{X}} \qquad \text{dal formulario} \end{eqnarray}\] Siccome \[ \lim_{n\to\infty}\frac{\sigma_{\varepsilon}^{2}} {n \hat{\sigma}^{2}_{X}}=0 \] allora \(\hat\beta_1\) è stimatore consistente di \(\beta_1\).
4.b (pt 0.9/31→3/103) Siano \(\hat\theta_1\) e \(\hat\theta_2\) due stimatori non corretti per \(\theta\), cosa significa dire che \(\hat\theta_1\) è più efficiente di \(\hat\theta_2\)?
4.c (pt 0.9/31→3/103) Si consideri il seguente sistema d’ipotesi: \[ \begin{cases} H_0:\theta=\theta_0\\ H_1:\theta>\theta_0 \end{cases} \]
Posta con \(T\) la VC statistica test e con \(t_\text{obs}\) il valore osservato della statistica test, definire il \(p_\text{value}\) del test.
Il \(p_\text{value}\) è la probabilità, se fosse vera \(H_0\) di avere un campione ancora più favorevole ad \(H_1\) di quello che abbiamo osservato, in altre parole ci dice quanto è raro il campione sotto ipotesi \(H_0\). In simboli, nel caso di un test unilaterale destro \[ p_\text{value} = P(T>t_\text{obs}) \]
4.d (pt 0.9/31→3/103) In un sondaggio su 273 lavoratori è stato chiesto il livello di formazione ricevuta sull’uso degli strumenti di Intelligenza Artificiale (Basso, Medio, Alto) e la valutazione della propria preparazione rispetto ai cambiamenti tecnologici nel lavoro (Adeguata, Insufficiente).
|
Livello di formazione
|
|||
|---|---|---|---|
| Basso | Medio | Alto | |
| Preparazione | |||
| Adeguata | 18 | 32 | 45 |
| Insufficiente | 40 | 40 | 98 |
Eseguito il test del \(\chi^2\) per verificare l’indipendenza tra il livello di formazione sugli strumenti di AI e la valutazione della preparazione rispetto ai cambiamenti tecnologici, si ottiene un \(p_\text{value}=0.1344\). Possiamo concludere che il livello di formazione ricevuta e la propria valutazione rispetto alla propria preparazione sono indipendenti? Perché?
Essendo \(p_\text{value}=0.1344>0.1\) il test non è significativo, non si rifiuta l’indipendenza tra il livello di utilizzo e l’opinione sull’impatto per nessun livello di significatività.
Esercizio 5
In uno studio su \(n=50\) municipalità dell’Unione Europea, sono stati analizzati il tasso di disoccupazione giovanile (in percentuale, \(X\)) e il numero di posti a sedere in teatro e cinema per abitante (\(Y\)).
Si sono osservate le seguenti statistiche: \[\begin{align*} \sum_{i=1}^n x_i &= 500.4, &\sum_{i=1}^n x_i^2 &= 5047.02 & \\ \sum_{i=1}^n y_i &= 114.68, &\sum_{i=1}^n y_i^2 &= 263.79 &\sum_{i=1}^n x_iy_i &= 1151.3. \end{align*}\]
5.a (pt 3.9/31→13/103) Per la regione \(R\) si è osservato \(x_R=10.5\) e \(y_R=2.19\), stimare il modello di regressione dove \(Y\) viene spiegata da \(X\) e calcolare il residuo per la regione \(R\).
\[\begin{eqnarray*} \bar x &=&\frac 1 n\sum_{i=1}^n x_i = \frac {1}{ 50 } 500.4 = 10.01 \\ \bar y &=&\frac 1 n\sum_{i=1}^n y_i = \frac {1}{ 50 } 114.68 = 2.294 \\ \hat\sigma_X^2&=&\frac 1 n\sum_{i=1}^n x_i^2-\bar x^2=\frac {1}{ 50 } 5047 - 10.008 ^2= 0.7803 \\ \hat\sigma_Y^2&=&\frac 1 n\sum_{i=1}^n y_i^2-\bar y^2=\frac {1}{ 50 } 263.8 - 2.2936 ^2= 0.0152 \\ \text{cov}(X,Y)&=&\frac 1 n\sum_{i=1}^n x_i~y_i-\bar x\bar y=\frac {1}{ 50 } 1151 - 10.008 \cdot 2.2936 = 0.07166 \\ \hat\beta_1 &=& \frac{\text{cov}(X,Y)}{\hat\sigma_X^2} \\ &=& \frac{ 0.07166 }{ 0.7803 } = 0.09183 \\ \hat\beta_0 &=& \bar y - \hat\beta_1 \bar x\\ &=& 2.294 - 0.0918 \times 10.008 = 1.375 \end{eqnarray*}\]\[\begin{eqnarray*} \hat y_i &=&\hat\beta_0+\hat\beta_1 x_i=\\ &=& 1.375 + 0.0918 \times 10.5 = 2.339 \\ \hat \varepsilon_i &=& y_i-\hat y_i\\ &=& 2.192 - 2.3388 = -0.1471 \end{eqnarray*}\]
5.b (pt 1.2/31→4/103) Determinare la percentuale di varianza spiegata dal modello.
\[\begin{eqnarray*} r&=&\frac{\text{cov}(X,Y)}{\sigma_X\sigma_Y}=\frac{ 0.07166 }{ 0.8834 \times 0.1233 }= 0.658 \\ r^2&=& 0.4329 < 0.75 \end{eqnarray*}\]
Il modello non si adatta bene ai dati.
Il modello spiega il \(43.29\%\) della variabilità totale della \(Y\).
5.c (pt 3.9/31→13/103) Testare l’ipotesi che \(\beta_0 = 1\) contro l’alternativa che sia maggiore, per \(\alpha=0.1,0.05,0.01,0.001\) e dare una valutazione approssimativa del \(p_\text{value}\) (ad esempio il \(p_\text{value}\) è minore di 0.001, compreso tra 0.05 e tra 0.01, ecc.).
\(\fbox{A}\) FORMULAZIONE DELLE IPOTESI
\[\begin{cases} H_0: \beta_0 = \beta_{0;H_0}=1 \\ H_1: \beta_0 \neq \beta_{0;H_0}=1 \end{cases}\]
\(\fbox{B}\) SCELTA E CALCOLO STATISTICA-TEST, \(T\) Test su un coefficiente di regressione: \(\Rightarrow\) t-Test.
\[\begin{eqnarray*} \hat{\sigma_\varepsilon}^2&=&(1-r^2)\hat\sigma_Y^2\\ &=& (1- 0.433 )\times 0.0152 \\ &=& 0.0086 \\ S_\varepsilon^2 &=& \frac{n} {n-2} \hat{\sigma_\varepsilon}^2\\ &=& \frac{ 50 } { 50 -2} \hat{\sigma_\varepsilon}^2 \\ &=& \frac{ 50 } { 50 -2} \times 0.0086 = 0.009 \end{eqnarray*}\]
E quindi\[\begin{eqnarray*}
V(\hat\beta_{0}) &=& \sigma_{\varepsilon}^{2} \left( \frac{1}
{n} + \frac{\bar{x}^{2}} {n \hat{\sigma}^{2}_{X}} \right)\\
\widehat{V(\hat\beta_{0})} &=& S_{\varepsilon}^{2}\left(
\frac{1} {n} + \frac{\bar{x}^{2}} {n \hat{\sigma}^{2}_{X}} \right)\ \\
&=& 0.009 \times\left( \frac{1} { 50 } + \frac{ 10.01 ^{2}} {
50 \times 0.7803 } \right)\\
\widehat{SE(\hat\beta_{0})} &=& \sqrt{ 0.0232 }\\
&=& 0.1523
\end{eqnarray*}\]
\[\begin{eqnarray*}
\frac{\hat\beta_{ 0 } - \beta_{ 0 ;H_0}} {\widehat{SE(\hat\beta_{ 0
})}}&\sim&t_{n-2}\\
t_{\text{obs}}
&=& \frac{ ( 1.375 - 1 )} { 0.1524 }
= 2.458 \, .
\end{eqnarray*}\]
\(\fbox{C}\) CONCLUSIONE
Siccome \(H_1\) è bilaterale, considereremo \(\alpha/2\), anziché \(\alpha\)
\(\alpha=0.1, 0.05, 0.01, 0.001\) e quindi \(\alpha/2=0.05, 0.025, 0.005, 0.0005\)
I valori critici sono
\(t_{50-2;0.05}=1.6772\); \(t_{50-2;0.025}=2.0106\); \(t_{50-2;0.005}=2.6822\); \(t_{50-2;0.0005}=3.5051\)
Siccome \(2.0106<|t_\text{obs}|=2.4579<2.6822\), quindi rifiuto \(H_0\) al 5%,
\(0.01<p_\text{value}<0.05\), significativo \(\fbox{*}\).
Il \(p_{\text{value}}\) è
\[ p_{\text{value}} = P(|T_{50-2}|>|2.46|)=2P(T_{50-2}>2.46)=0.017637 \]
Attenzione il calcolo del \(p_\text{value}\) con la \(T\) è puramente illustrativo e non può essere riprodotto senza una calcolatrice statistica adeguata.\[ 0.01 < p_\text{value}= 0.017637 \leq 0.05 \]
5.d (pt 0.6/31→2/103) Che differenza c’è tra interpolazione ed estrapolazione?
5.e (pt 0.6/31→2/103) Se in un modello di regressione \(\hat\beta_1 <0\) che segno avrà \(r\)?
5.f (pt 0.6/31→2/103) Cosa significa dire che \(r^2\) è invariante ai cambiamenti di scala?
Significa che se \(V=a+bY\) e \(W=c+dX\) allora \(r^2_{VW}=r^2_{XY}\).
Prova di Statistica C
Esercizio 1
Su un campione di \(200\) aziende con più di 50 addetti dell’Emilia-Romagna è stato rilevato l’investimento effettuato negli ultimi 5 anni in intelligenza artificiale (espresso in milioni di euro). Di seguito è riportata la distribuzione delle frequenze cumulate:
| \([\text{x}_j,\) | \(\text{x}_{j+1})\) | \(F_j\) |
|---|---|---|
| 0 | 2 | 0.10 |
| 2 | 3 | 0.50 |
| 3 | 7 | 0.95 |
| 7 | 15 | 1.00 |
1.a (pt 3.9/31→13/103) Individuare la classe modale.
| \([\text{x}_j,\) | \(\text{x}_{j+1})\) | \(n_j\) | \(f_j\) | \(b_j\) | \(h_j\) |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 2 | 20 | 0.10 | 2 | 5.00 |
| 2 | 3 | 80 | 0.40 | 1 | 40.00 |
| 3 | 7 | 90 | 0.45 | 4 | 11.25 |
| 7 | 15 | 10 | 0.05 | 8 | 0.62 |
| 200 | 1.00 | 15 |
1.b (pt 1.2/31→4/103) Qual è il numero approssimativo di aziende che hanno investito tra il 15-esimo e il 25-esimo percentile?
Per definizione \(\%(x_{0.15}<X<x_{0.25})=10\%\) e \(\#(x_{0.15}<X<x_{0.25})\approx0.1\times200 =20\)
1.c (pt 0.6/31→2/103) Sapendo che le media è pari a \(3.9\) e considerata la mediana calcolata al punto 1.a, che forma avrà l’istogramma di densità?
1.d (pt 0.6/31→2/103) L’investimento medio è pari a \(\bar x=3.9\), mentre la SD è pari a \(\sigma=2.2\). Se ogni impresa aumentasse il proprio investimento del 10%, quanto varrebbero la media e la SD dei dati così trasformati?
\[ \bar y= 4.29 ~~~~~~~~ \sigma_Y= 2.42 \]
Esercizio 2
Un processo è svolto da \(n=5\) agenti AI, ogni agente commette un’allucinazione con probabilità \(\pi=0.25\). Sia \(X_i\) la VC che vale 1 se l’agente \(i\) ha commesso un’allucinazione e vale 0 altrimenti: \[ P(X_i = 1) = 0.25, \qquad i =1,...,5 \] e sia \[ X=X_1+...+X_5 \] la VC che conta il numero di allucinazioni su 5 agenti.
2.a (pt 3.9/31→13/103) Calcolare la probabilità che il processo abbia al massimo un’allucinazione (\(P(X\le 1)\)).
\[ X=X_1 + ... + X_5 \sim \operatorname{Binom}(5;0.25) \] \[\begin{eqnarray*} P( X \leq 1 ) &=& \binom{ 5 }{ 0 } 0.25 ^{ 0 }(1- 0.25 )^{ 5 - 0 }+\binom{ 5 }{ 1 } 0.25 ^{ 1 }(1- 0.25 )^{ 5 - 1 } \\ &=& 0.2373+0.3955 \\ &=& 0.6328 \end{eqnarray*}\]
2.b (pt 1.2/31→4/103) Calcolare \(P(X\le 1|X\le 2)\).
\[ X=X_1 + ... + X_5 \sim \operatorname{Binom}(5;0.25) \]
\[\begin{eqnarray*} P(X\le 1|X\le 2) &=& \frac{P(X\le 1\cap X\le 2)}{P(X\le 2)}\\ &=& \frac{P(X\le 1)}{P(X\le 2)}\\ &=& \frac{0.6328}{0.8965}\\ &=& 0.7059 \end{eqnarray*}\]
2.c (pt 0.6/31→2/103) Siano \(Z\sim N(0,1)\), \(X\sim \chi^2_2\) e \(Y\sim \chi^2_5\), \(X\), \(Y\) e \(Z\) indipendenti. Come si distribuisce \[ \frac{Z}{X+Y}\sim~~? \]
\[ X+Y \sim \chi^2_{2+5} \] e quindi \[ \frac{Z}{X+Y}\sim t_7 \]
2.d (pt 0.6/31→2/103) Siano \(A\) e \(B\) due eventi tali che \(P(B)=0.5\) e \(P(A)=0.6\), \(A\) e \(B\) possono essere incompatibili? Perché?
No, perché se lo fossero avremmo che \(P(A\cap B)=0\) e di conseguenza \[ P(A\cup B)= P(A)+P(B)=0.5+0.6> 1 \] che è impossibile.
Esercizio 3
3.a (pt 3.9/31→13/103) Un’urna contiene 1 pallina numerata con \(\fbox{0}\), 3 numerate con \(\fbox{1}\) e 1 numerata con \(\fbox{2}\). Si estrae 80 volte con reinserimento. Qual è la probabilità che la somma delle 80 palline sia inferiore a 75?
\[\begin{eqnarray*} \mu &=& \frac 1{ 5 }( 0 + 1 + 1 + 1 + 2 )= 1 \\ \sigma^2 &=& \frac 1{ 5 }( 0 ^2+ 1 ^2+ 1 ^2+ 1 ^2+ 2 ^2 )-( 1 )^2= 0.4 \end{eqnarray*}\] Teorema del Limite Centrale (somma VC qualunque)
Siano \(X_1\),…,\(X_n\), \(n=80\) VC IID, tc \(E(X_i)=\mu=1\) e \(V(X_i)=\sigma^2=0.4,\forall i\), posto: \[ S_n = X_1 + ... + X_n \] allora:\[\begin{eqnarray*} S_n & \mathop{\sim}\limits_{a}& N(n\mu,n\sigma^2) \\ &\sim & N(80\cdot1,80\cdot0.4) \\ &\sim & N(80,32) \end{eqnarray*}\]\[\begin{eqnarray*} P( S_n < 75 ) &=& P\left( \frac { S_n - n\mu }{ \sqrt{n\sigma^2} } < \frac { 75 - 80 }{\sqrt{ 32 }} \right) \\ &=& P\left( Z < -0.88 \right) \\ &=& 1-\Phi( 0.88 ) \\ &=& 0.1894 \end{eqnarray*}\]
Esercizio 4
4.a (pt 0.9/31→3/103) Siano \(\hat\beta_0\), \(\hat\beta_1\) e \(\hat\sigma_\varepsilon\) gli stimatori di massima verosimiglianza di, \(\beta_0\), \(\beta_1\) e \(\sigma_\varepsilon\), del modello di regressione lineare semplice \[ y_i = \beta_0 + \beta_1 x_i +\varepsilon_i, ~\varepsilon_i\sim N(0,\sigma^2_\varepsilon),\forall i=1,...,n \] Sapendo che: \[ V(\hat\sigma_\varepsilon)=\frac{2(n-2)}{n^2}\sigma_\varepsilon^4 \] Dimostrare la consistenza di \(\hat\sigma_\varepsilon^2\).
Sappiamo che \(\hat\sigma_\varepsilon^2\) non è stimatore corretto di \(\sigma_\varepsilon^2\) \[ E(\hat\sigma_\varepsilon^2)=\frac{n}{n-2} \sigma_\varepsilon^2 \] ma è corretto asintoticamente \[ \lim_{n\to \infty} E(\hat\sigma_\varepsilon^2)=\lim_{n\to \infty}\frac{n}{n-2} \sigma_\varepsilon^2=\sigma_\varepsilon^2 \] E quindi \[ \lim_{n\to \infty} B^2(\hat\sigma_\varepsilon^2)=\lim_{n\to \infty} (\hat\sigma_\varepsilon^2-\sigma_\varepsilon^2)^2 = 0 \] e siccome \[ \lim_{n\to \infty} V(\hat\sigma_\varepsilon^2)=\frac{2(n-2)}{n^2}\sigma_\varepsilon^4=0 \] allora \[\begin{eqnarray} \lim_{n\to \infty}MSE(\hat\sigma_\varepsilon^2) &=& \lim_{n\to \infty}V(\hat\sigma_\varepsilon^2)+B^2(\hat\sigma_\varepsilon^2)\\ &=& 0 + 0 = 0 \end{eqnarray}\] e quindi \(\hat\sigma_\varepsilon^2\) è stimatore consistente di \(\sigma_\varepsilon^2\).
4.b (pt 0.9/31→3/103) Sia \(\hat\theta\) lo stimatore di massima verosimiglianza per \(\theta\), indicare la sua distribuzione asintotica.
4.c (pt 0.9/31→3/103) Definire un intervallo di confidenza al 95% per un generico parametro \(\theta\).
4.d (pt 0.9/31→3/103) Una moneta, che non sappiamo se è perfetta oppure no, viene lanciata 100 volte. Abbiamo osservato 34 volte testa su 100 lanci. Posto \(\pi\) la probabilità che la moneta mostri testa, si è testato \[ \begin{cases} H_0:\pi=\frac 12\\ H_1:\pi\ne\frac 12 \end{cases} \] ed è risultato \(p_\text{value}=0.0014\). Possiamo concludere che la moneta sia truccata? Perché?
Esercizio 5
In un’indagine sulla penetrazione dell’intelligenza artificiale (IA) nel mondo del lavoro sono state indagate 75 aziende con oltre i 50 dipendenti della regione Lombardia. L’indagine ha mostrato che 45 aziende su 75 hanno integrato i loro processi produttivi con sistemi IA.
5.a (pt 0.9/31→3/103) Costruire un intervallo di confidenza al 95 % per la proporzione di aziende che in Lombardia integrano i loro processi con l’IA.
\(1-\alpha =0.95\) e quindi \(\alpha=0.05\rightarrow \alpha/2=0.025\)
\[ \hat\pi = \frac{S_n}n = \frac{ 45 }{ 75 }= 0.6 \]
\[\begin{eqnarray*} Idc: & & \hat\pi \pm z_{\alpha/2} \times \sqrt{\frac{\hat\pi(1-\hat\pi)}{n}} \\ & & 0.6 \pm 1.96 \times \sqrt{\frac{ 0.6 (1- 0.6 )}{ 75 }} \\ & & 0.6 \pm 1.96 \times 0.05657 \\ & & [ 0.4891 , 0.7109 ] \end{eqnarray*}\]
5.b (pt 3.0/31→10/103) Un’indagine analoga, condotta sul territorio nazionale, ha mostrato che la proporzione di aziende che integrano l’IA nei loro processi è pari 0.55. Testare l’ipotesi che la proporzione di aziende che usano le IA nella regione Lombardia sia uguale a quella del resto d’Italia contro l’alternativa che sia maggiore. Risolvere con il \(p_\text{value}\) e confrontarlo per \(\alpha = 0.1,\ 0.05,\ 0.01,\ 0.001\).
Test \(Z\) per una proporzione
La stima \[\hat\pi=\frac { 45 } { 75 }= 0.6 \]
\(\fbox{A}\) FORMULAZIONE DELLE IPOTESI
\[\begin{cases} H_0: \pi = \pi_0=0.55 \\ H_1: \pi > \pi_0=0.55 \end{cases}\]
\(\fbox{B}\) SCELTA E CALCOLO STATISTICA-TEST, \(Z\) Test Binomiale per \(n\) grande: \(\Rightarrow\) z-Test.
\[\begin{eqnarray*} \frac{\hat\pi - \pi_{0}} {\sqrt {\pi_0(1-\pi_0)/\,n}}&\sim&N(0,1)\\ z_{\text{obs}} &=& \frac{ ( 0.6 - 0.55 )} {\sqrt{ 0.55 (1- 0.55 )/ 75 }} = 0.8704 \,. \end{eqnarray*}\]
\(\fbox{C}\) CONCLUSIONE
Il \(p_{\text{value}}\) è
\[ p_{\text{value}} = P(Z>0.87)=0.192044 \]
\[
0.1 < p_\text{value}= 0.192044 \leq 1
\]
Non rifiuto \(H_0\) a nessun livello di significatività,
\(p_\text{value}>0.1\), non significativo
Esercizio 6
In uno studio su \(n=50\) municipalità dell’Unione Europea, sono stati analizzati il numero di centraline per la ricarica delle auto elettriche per chilometro quadrato (X) e una misura della qualità dell’aria espressa in opportuna scala (Y).
Si sono osservate le seguenti statistiche: \[\begin{align*} \sum_{i=1}^n x_i &= 497.7, &\sum_{i=1}^n x_i^2 &= 5123.67 & \\ \sum_{i=1}^n y_i &= 113.92, &\sum_{i=1}^n y_i^2 &= 262.03 &\sum_{i=1}^n x_iy_i &= 1151.85. \end{align*}\]
6.a (pt 3.9/31→13/103) Per la regione \(R\) si è osservato \(x_R=10.1\) e \(y_R=2.24\), stimare il modello di regressione dove \(Y\) viene spiegata da \(X\) e calcolare il residuo per la regione \(R\).
\[\begin{eqnarray*} \bar x &=&\frac 1 n\sum_{i=1}^n x_i = \frac {1}{ 50 } 497.7 = 9.954 \\ \bar y &=&\frac 1 n\sum_{i=1}^n y_i = \frac {1}{ 50 } 113.92 = 2.278 \\ \hat\sigma_X^2&=&\frac 1 n\sum_{i=1}^n x_i^2-\bar x^2=\frac {1}{ 50 } 5124 - 9.954 ^2= 3.391 \\ \hat\sigma_Y^2&=&\frac 1 n\sum_{i=1}^n y_i^2-\bar y^2=\frac {1}{ 50 } 262 - 2.2784 ^2= 0.04949 \\ \text{cov}(X,Y)&=&\frac 1 n\sum_{i=1}^n x_i~y_i-\bar x\bar y=\frac {1}{ 50 } 1152 - 9.954 \cdot 2.2784 = 0.3578 \\ \hat\beta_1 &=& \frac{\text{cov}(X,Y)}{\hat\sigma_X^2} \\ &=& \frac{ 0.3578 }{ 3.391 } = 0.1055 \\ \hat\beta_0 &=& \bar y - \hat\beta_1 \bar x\\ &=& 2.278 - 0.1055 \times 9.954 = 1.228 \end{eqnarray*}\]\[\begin{eqnarray*} \hat y_i &=&\hat\beta_0+\hat\beta_1 x_i=\\ &=& 1.228 + 0.1055 \times 10.1 = 2.294 \\ \hat \varepsilon_i &=& y_i-\hat y_i\\ &=& 2.238 - 2.2938 = -0.05583 \end{eqnarray*}\]
6.b (pt 1.2/31→4/103) Determinare la percentuale di varianza spiegata dal modello.
\[\begin{eqnarray*} r&=&\frac{\text{cov}(X,Y)}{\sigma_X\sigma_Y}=\frac{ 0.3578 }{ 1.842 \times 0.2225 }= 0.8733 \\ r^2&=& 0.7627 > 0.75 \end{eqnarray*}\]
Il modello si adatta bene ai dati.
Il modello spiega il \(76.27\%\) della variabilità totale della \(Y\).
6.c (pt 0.6/31→2/103) Definire gli outliers e i punti di leva.
6.d (pt 0.6/31→2/103) Se in un modello di regressione \(\hat\beta_1 >0\) che segno avrà \(r\)?
6.e (pt 0.6/31→2/103) Cosa significa quando \(r^2=0\)?
Prova di Statistica 1
Esercizio 1
Su un campione di \(200\) aziende con più di 50 addetti dell’Emilia-Romagna è stato rilevato l’investimento effettuato negli ultimi 5 anni in intelligenza artificiale (espresso in milioni di euro). Di seguito è riportata la distribuzione delle frequenze percentuali:
| \([\text{x}_j,\) | \(\text{x}_{j+1})\) | \(f_{j\%}\) |
|---|---|---|
| 0 | 1 | 65 |
| 1 | 3 | 25 |
| 3 | 5 | 5 |
| 5 | 10 | 5 |
| 100 |
1.a (pt 3.9/31→13/103) Disegnare l’istogramma di densità percentuale.
| \([\text{x}_j,\) | \(\text{x}_{j+1})\) | \(n_j\) | \(f_j\) | \(b_j\) | \(h_j\) |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 130 | 0.65 | 1 | 65.0 |
| 1 | 3 | 50 | 0.25 | 2 | 12.5 |
| 3 | 5 | 10 | 0.05 | 2 | 2.5 |
| 5 | 10 | 10 | 0.05 | 5 | 1.0 |
| 200 | 1.00 | 10 |
1.b (pt 1.2/31→4/103) Qual è la percentuale di aziende che hanno investito tra il 20-esimo e il 75-esimo percentile?
Per definizione \(\%(x_{0.2}<X<x_{0.75})=55\%\) e \(\#(x_{0.2}<X<x_{0.75})\approx0.55\times200 =110\)
1.c (pt 0.6/31→2/103) Che relazione dobbiamo aspettarci tra media, mediana e moda?
1.d (pt 0.6/31→2/103) Siano \(x_1,...,x_{5}\), \(n=5\) numeri tali che \[ \sum_{i=1}^{5} x_i = 15 \] Posto \[ g(x)=\sum_{i=1}^{5}(x_i-x)^2 \] calcolare il valore di \(x\) che minimizza \(g\).
Esercizio 2
Un processo viene svolto da due agenti AI, \(A\) e \(B\). L’agente \(A\) commette un numero di allucinazioni che è distribuito secondo una Poisson di parametro 0.05, \(X_A \sim \text{Pois}(0.05)\), mentre per l’agente \(B\) il numero di allucinazioni è distribuito secondo una Poisson di parametro 0.03, \(X_B \sim \text{Pois}(0.03)\), \(X_A\) e \(X_B\) indipendenti. Il processo finale viene considerato inconsistente se entrambi gli agenti hanno commesso almeno una allucinazione (\(X_A\ge 1\cap X_B\ge 1\)).
2.a (pt 3.9/31→13/103) Calcolare la probabilità che il processo sia inconsistente \(P(X_A\ge 1\cap X_B\ge 1)\).
\[\begin{eqnarray*} P( X_A \geq 1 ) &=& 1-P( X_A < 1 ) \\ &=& 1-\left( \frac{ 0.05 ^{ 0 }}{ 0 !}e^{- 0.05 } \right)\\ &=& 1-( 0.9512 )\\ &=& 1- 0.9512 \\ &=& 0.0488 \end{eqnarray*}\] \[\begin{eqnarray*} P( X_B \geq 1 ) &=& 1-P( X_B < 1 ) \\ &=& 1-\left( \frac{ 0.03 ^{ 0 }}{ 0 !}e^{- 0.03 } \right)\\ &=& 1-( 0.9704 )\\ &=& 1- 0.9704 \\ &=& 0.0296 \end{eqnarray*}\] \[\begin{eqnarray} P(X_A\ge 1\cap X_B\ge 1) &=& P(X_A\ge 1)P( X_B\ge 1)\\ &=& 0.0488\cdot 0.0296\\ &=& 0.0014 \end{eqnarray}\]
2.b (pt 1.2/31→4/103) Si considerino \(n=5\) ripetizioni indipendenti del processo. Per ogni ripetizione \(i\), sia la VC che vale \(X_i=1\) se \(X_A\ge 1\cap X_B\ge 1\) è vera e vale zero altrimenti.
Calcolare la probabilità che almeno uno dei 5 processi risulti inconsistente, cioè che in almeno una ripetizione si abbia \(X_i = 1\). (Suggerimento: l’evento complementare di “almeno uno dei 5 processi è inconsistente” è “nessuno dei 5 processi è inconsistente”)
\[\begin{eqnarray*} P(X_A\ge 1\cap X_B\ge 1) &=& 0.0014\\ P(\text{almeno una volta}) &=& 1-P(\text{nessuna volta})\\ &=& 1-(1-0.0014)^5\\ &=& 0.0072 \end{eqnarray*}\]
2.c (pt 0.6/31→2/103) Sia \(Z\sim N(0,1)\) e \(Y\sim \text{Pois}(5.4)\), \(Z\) e \(Y\) indipendenti. Calcolare \(E(Z-Y)\) e \(V(Z-Y)\).
essendo
\[\begin{align} E(Z) &= 0; & \qquad V(Z) & = 1\\ E(Y) &=5.4 ; & \qquad V(Y) & = 5.4\\ \end{align}\]
e quindi
\[\begin{eqnarray*} E(Z-Y) &=& 0-5.4\\ V(Z-Y) &=& 1+5.4\\ \end{eqnarray*}\]
2.d (pt 0.6/31→2/103) Siano \(A\ne\emptyset\) e \(B\ne\emptyset\), tali che \(P(A|B)>0\), \(A\) e \(B\) possono essere incompatibili? Perché?
Esercizio 3
3.a (pt 3.9/31→13/103) Un’urna contiene 1 pallina numerata con \(\fbox{0}\), 3 numerate con \(\fbox{1}\) e 1 numerata con \(\fbox{2}\). Si vince se esce \(\fbox{1}\) oppure \(\fbox{2}\) e si perde altrimenti. Si estrae 80 volte con reinserimento. Qual è la probabilità che la proporzione di vincite sia maggiore di 0.75?
Teorema del Limite Centrale (proporzione)
Siano \(X_1\),…,\(X_n\), \(n=80\) VC IID, tc \(X_i\sim\text{Ber}(\pi=0.8)\)\(,\forall i\), posto: \[ \hat\pi=\frac{S_n}n = \frac{X_1 + ... + X_n}n \] allora:\[\begin{eqnarray*} \hat\pi & \mathop{\sim}\limits_{a}& N(\pi,\pi(1-\pi)/n) \\ &\sim & N\left(0.8,\frac{0.8\cdot(1-0.8)}{80}\right) \\ &\sim & N(0.8,0.002) \end{eqnarray*}\]\[\begin{eqnarray*} P( \hat\pi > 0.75 ) &=& P\left( \frac { \hat\pi - \pi }{ \sqrt{\pi(1-\pi)/n} } > \frac { 0.75 - 0.8 }{\sqrt{ 0.002 }} \right) \\ &=& P\left( Z > -1.12 \right) \\ &=& 1-P(Z< -1.12 )\\ &=& 1-(1-\Phi( 1.12 )) \\ &=& 0.8686 \end{eqnarray*}\]
Esercizio 4
4.a (pt 0.9/31→3/103) Siano \(\hat\beta_0\), \(\hat\beta_1\) e \(\hat\sigma_\varepsilon\) gli stimatori di massima verosimiglianza di, \(\beta_0\), \(\beta_1\) e \(\sigma_\varepsilon\), del modello di regressione lineare semplice \[ y_i = \beta_0 + \beta_1 x_i +\varepsilon_i, ~\varepsilon_i\sim N(0,\sigma^2_\varepsilon),\forall i=1,...,n \] Scrivere il \(MSE\) di \(\hat\beta_0\).
Sappiamo che \(\hat\beta_0\) è stimatore corretto di \(\beta_0\) (teroema di Gauss-Markov): \[ E(\hat\beta_0)=\beta_0 \] Quindi, essendo corretto \[\begin{eqnarray} MSE(\hat\beta_0) &=& V(\hat\beta_0)\\ &=&\sigma_{\varepsilon}^{2} \left( \frac{1} {n} + \frac{\bar{x}^{2}} {n \hat{\sigma}^{2}_{X}} \right)\qquad\text{dal formulario} \end{eqnarray}\]
4.b (pt 0.9/31→3/103) Siano \(\hat\theta_1\) e \(\hat\theta_2\) due stimatori corretti per \(\theta\), cosa significa dire che \(\hat\theta_1\) è più efficiente di \(\hat\theta_2\)?
4.c (pt 0.9/31→3/103) Definire gli errori di primo e secondo tipo di un test statistico e le relative probabilità.
Si definiscono
- L’errore di primo tipo è l’errore che si commette scegliendo \(H_1\) quando è vera \(H_0\).
- L’errore di secondo tipo è l’errore che si commette scegliendo \(H_0\) quando è vera \(H_1\).
| decido \(H_0\) | decido \(H_1\) | ||
|---|---|---|---|
| stato di natura | \(H_0\) | \(1-\alpha\) | \(\alpha\) |
| stato di natura | \(H_1\) | \(\beta\) | \(1-\beta\) |
\[\alpha=P(\text{Errore I tipo})=P(\text{Decidere $H_1$};H_0)\]
\[\beta=P(\text{Errore II tipo})=P(\text{Decidere $H_0$};H_1)\]
- \(\alpha\) è il livello di significatività del test, \(\alpha\) è la probabilità di scegliere \(H_1\) quando invece è vera \(H_0\).
- \(\beta\) è la probabilità di scegliere \(H_0\) quando invece è vera \(H_1\).
4.d (pt 0.9/31→3/103) In un sondaggio su 160 persone è stato chiesto il livello di utilizzo di strumenti di Intelligenza Artificiale (Basso, Medio, Alto) e l’opinione sul loro impatto nel mondo del lavoro (Favorevole, Contrario).
|
Livello di utilizzo
|
|||
|---|---|---|---|
| Basso | Medio | Alto | |
| Opinione | |||
| Favorevole | 30 | 10 | 35 |
| Contrario | 20 | 40 | 25 |
Eseguito il test del \(\chi^2\) per verificare l’indipendenza tra il livello di utilizzo degli strumenti di AI e l’opinione sul loro impatto nel mondo del lavoro, si ottiene un \(p_\text{value}=0.00002588\). Possiamo concludere che il livello di utilizzo e l’opinione sul loro impatto nel mondo del lavoro sono indipendenti? Perché?
Essendo \(p_\text{value}=0.00002588<0.001\) il test è estremamente significativo, si rifiuta l’indipendenza tra il livello di utilizzo e l’opinione sull’impatto ad un livello di significatività inferiore all’1 per mille.
Esercizio 5
In uno studio su \(n=50\) municipalità dell’Unione Europea, sono stati analizzati il tasso di disoccupazione giovanile (in percentuale, \(X\)) e la disponibilità di aree verdi urbane (in metri quadrati per abitante, \(Y\)).
Si sono osservate le seguenti statistiche: \[\begin{align*} \sum_{i=1}^n x_i &= 498, &\sum_{i=1}^n x_i^2 &= 5025.18 & \\ \sum_{i=1}^n y_i &= 1289.27, &\sum_{i=1}^n y_i^2 &= 36923.54 &\sum_{i=1}^n x_iy_i &= 12393.43. \end{align*}\]
5.a (pt 3.9/31→13/103) Per la regione \(R\) si è osservato \(x_R=10.6\) e \(y_R=24.48\), stimare il modello di regressione dove \(Y\) viene spiegata da \(X\) e calcolare il residuo per la regione \(R\).
\[\begin{eqnarray*} \bar x &=&\frac 1 n\sum_{i=1}^n x_i = \frac {1}{ 50 } 498 = 9.96 \\ \bar y &=&\frac 1 n\sum_{i=1}^n y_i = \frac {1}{ 50 } 1289.27 = 25.79 \\ \hat\sigma_X^2&=&\frac 1 n\sum_{i=1}^n x_i^2-\bar x^2=\frac {1}{ 50 } 5025 - 9.96 ^2= 1.302 \\ \hat\sigma_Y^2&=&\frac 1 n\sum_{i=1}^n y_i^2-\bar y^2=\frac {1}{ 50 } 36924 - 25.7854 ^2= 73.58 \\ \text{cov}(X,Y)&=&\frac 1 n\sum_{i=1}^n x_i~y_i-\bar x\bar y=\frac {1}{ 50 } 12393 - 9.96 \cdot 25.7854 = -8.954 \\ \hat\beta_1 &=& \frac{\text{cov}(X,Y)}{\hat\sigma_X^2} \\ &=& \frac{ -8.954 }{ 1.302 } = -6.877 \\ \hat\beta_0 &=& \bar y - \hat\beta_1 \bar x\\ &=& 25.79 - (-6.8771) \times 9.96 = 94.28 \end{eqnarray*}\]\[\begin{eqnarray*} \hat y_i &=&\hat\beta_0+\hat\beta_1 x_i=\\ &=& 94.28 + (-6.8771) \times 10.6 = 21.38 \\ \hat \varepsilon_i &=& y_i-\hat y_i\\ &=& 24.48 - 21.3841 = 3.098 \end{eqnarray*}\]
5.b (pt 1.2/31→4/103) Determinare la percentuale di varianza spiegata dal modello.
\[\begin{eqnarray*} r&=&\frac{\text{cov}(X,Y)}{\sigma_X\sigma_Y}=\frac{ -8.954 }{ 1.141 \times 8.578 }= -0.9148 \\ r^2&=& 0.8368 > 0.75 \end{eqnarray*}\]
Il modello si adatta bene ai dati.
Il modello spiega il \(83.68\%\) della variabilità totale della \(Y\).
5.c (pt 3.9/31→13/103) Testare l’ipotesi che \(\beta_1 = -5\) contro l’alternativa che sia diverso, per \(\alpha=0.1,0.05,0.01,0.001\) e dare una valutazione approssimativa del \(p_\text{value}\) (ad esempio il \(p_\text{value}\) è minore di 0.001, compreso tra 0.05 e tra 0.01, ecc.).
\(\fbox{A}\) FORMULAZIONE DELLE IPOTESI
\[\begin{cases} H_0: \beta_1 = \beta_{1;H_0}=-5 \\ H_1: \beta_1 \neq \beta_{1;H_0}=-5 \end{cases}\]
\(\fbox{B}\) SCELTA E CALCOLO STATISTICA-TEST, \(T\) Test su un coefficiente di regressione: \(\Rightarrow\) t-Test.
\[\begin{eqnarray*} \hat{\sigma_\varepsilon}^2&=&(1-r^2)\hat\sigma_Y^2\\ &=& (1- 0.8369 )\times 73.58 \\ &=& 12.01 \\ S_\varepsilon^2 &=& \frac{n} {n-2} \hat{\sigma_\varepsilon}^2\\ &=& \frac{ 50 } { 50 -2} \hat{\sigma_\varepsilon}^2 \\ &=& \frac{ 50 } { 50 -2} \times 12.01 = 12.51 \end{eqnarray*}\]
E quindi\[\begin{eqnarray*} V(\hat\beta_{1}) &=& \frac{\sigma_{\varepsilon}^{2}} {n \hat{\sigma}^{2}_{X}} \\ \widehat{V(\hat\beta_{1})} &=& \frac{S_{\varepsilon}^{2}} {n \hat{\sigma}^{2}_{X}} \\ &=& \frac{ 12.51 } { 50 \times 1.302 } = 0.1921 \\ \widehat{SE(\hat\beta_{1})} &=& \sqrt{ 0.1921 }\\ &=& 0.4383 \end{eqnarray*}\]
\[\begin{eqnarray*} \frac{\hat\beta_{ 1 } - \beta_{ 1 ;H_0}} {\widehat{SE(\hat\beta_{ 1 })}}&\sim&t_{n-2}\\ t_{\text{obs}} &=& \frac{ ( -6.877 - -5 )} { 0.4383 } = -4.282 \, . \end{eqnarray*}\]
\(\fbox{C}\) CONCLUSIONE
Siccome \(H_1\) è bilaterale, considereremo \(\alpha/2\), anziché \(\alpha\)
\(\alpha=0.1, 0.05, 0.01, 0.001\) e quindi \(\alpha/2=0.05, 0.025, 0.005, 0.0005\)
I valori critici sono
\(t_{50-2;0.05}=1.6772\); \(t_{50-2;0.025}=2.0106\); \(t_{50-2;0.005}=2.6822\); \(t_{50-2;0.0005}=3.5051\)
Siccome \(|t_\text{obs}|=4.2823>3.5051\), quindi rifiuto \(H_0\) sotto all’1‰,
\(p_\text{value}<0.001\), estremamente significativo \(\fbox{***}\).
Il \(p_{\text{value}}\) è
\[ p_{\text{value}} = P(|T_{50-2}|>|-4.28|)=2P(T_{50-2}>4.28)=0.000088 \]
Attenzione il calcolo del \(p_\text{value}\) con la \(T\) è puramente illustrativo e non può essere riprodotto senza una calcolatrice statistica adeguata.\[ 0 < p_\text{value}= 0.000088 \leq 0.001 \]
5.d (pt 0.6/31→2/103) Perché, nel modello stimato al punto 5a, è più affidabile una previsione per \(x=10\) o per \(x=0\)? Perché?
5.e (pt 0.6/31→2/103) Se in un modello di regressione \(r =0\) quanto vale \(\hat\beta_1\)?
5.f (pt 0.6/31→2/103) Cosa significa dire che \(r\) è invariante ai cambiamenti di scala?
Significa che se \(V=a+bY\) e \(W=c+dX\) allora \(r_{VW}=\operatorname{sign}(b\times c) r_{XY}\).
Prova di Statistica 2
Esercizio 1
Su un campione di \(150\) aziende con più di 50 addetti dell’Emilia-Romagna è stato rilevato l’investimento effettuato negli ultimi 5 anni in intelligenza artificiale (espresso in milioni di euro). Di seguito è riportata la distribuzione delle densità percentuali:
| \([\text{x}_j,\) | \(\text{x}_{j+1})\) | \(h_j\) |
|---|---|---|
| 0 | 1 | 30.0 |
| 1 | 2 | 40.0 |
| 2 | 6 | 5.0 |
| 6 | 10 | 2.5 |
1.a (pt 3.9/31→13/103) Calcolare il valore approssimativo della mediana.
| \([\text{x}_j,\) | \(\text{x}_{j+1})\) | \(n_j\) | \(f_j\) | \(b_j\) | \(h_j\) |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 45 | 0.3 | 1 | 30.0 |
| 1 | 2 | 60 | 0.4 | 1 | 40.0 |
| 2 | 6 | 30 | 0.2 | 4 | 5.0 |
| 6 | 10 | 15 | 0.1 | 4 | 2.5 |
| 150 | 1.0 | 10 |
\[\begin{eqnarray*}
p &=& 0.5 , \text{essendo }F_{ 2 }= 0.7 >
0.5 \Rightarrow j_{ 0.5 }= 2 \\
x_{ 0.5 } &=& x_{\text{inf}; 2 } + \frac{ { 0.5 } - F_{ 1 }}
{f_{ 2 }} \cdot b_{ 2 } \\
&=& 1 + \frac {{ 0.5 } - 0.3 } { 0.4 }
\cdot 1 \\
&=& 1.5
\end{eqnarray*}\]
1.b (pt 1.2/31→4/103) Qual è la percentuale approssimativa di aziende che hanno investito meno di 3 milioni di euro?
\[\begin{eqnarray*} \%(X< 3 ) &=& f_{ 1 }\times 100+f_{ 2 }\times 100 +( 3 - 2 )\times h_{ 3 } \\ &=& ( 0.3 )\times 100+( 0.4 )\times 100 +( 1 )\times 5 \\ &=& 0.75 \times(100) \\ \#(X< 3 ) &\approx& 112 \end{eqnarray*}\]
1.c (pt 0.6/31→2/103) Sapendo che le media è pari a \(2.4\) e considerata la mediana calcolata al punto 1.a, che forma avrà l’istogramma di densità?
1.d (pt 0.6/31→2/103) Cosa significa dire che la media aritmetica gode della proprietà associativa?
Significa che
Esercizio 2
Un processo viene svolto da due agenti AI in parallelo, \(A\) e \(B\). Il tempo impiegato da ciascun agente, misurato in secondi, è distribuito secondo una Normale con media 7 e varianza 2, \(X_A \sim N(7,2)\), \(X_B \sim N(7,2)\), con \(X_A\) e \(X_B\) indipendenti. Il processo finale viene considerato troppo lento se almeno uno dei due agenti impiega più di 10 secondi, cioè se \(\{X_A> 10\} \cup \{X_B>10\}\).
2.a (pt 3.9/31→13/103) Calcolare la probabilità che il processo sia troppo lento (\(\{X_A> 10\} \cup \{X_B>10\}\)).
\[\begin{eqnarray*} P( X_A > 10 ) &=& P\left( \frac { X_A - \mu_A }{ \sigma_A } > \frac { 10 - 8 }{\sqrt{ 1 }} \right) \\ &=& P\left( Z > 2 \right) \\ &=& 1-P(Z< 2 )\\ &=& 1-\Phi( 2 ) \\ &=& 0.0228 \end{eqnarray*}\]\[\begin{eqnarray*} P( X_B > 10 ) &=& P\left( \frac { X_B - \mu_B }{ \sigma_B } > \frac { 10 - 7 }{\sqrt{ 2 }} \right) \\ &=& P\left( Z > 2.12 \right) \\ &=& 1-P(Z< 2.12 )\\ &=& 1-\Phi( 2.12 ) \\ &=& 0.017 \end{eqnarray*}\] \[ P(\{X_A> 10\} \cup \{X_B>10\})=P(\{X_A> 10\})P(\{X_B>10\})=0.0045 \]
2.b (pt 1.2/31→4/103) Calcolare \(P(X_A \le 10|X_A > 8)\).
\[\begin{eqnarray*} P(X_A\le 10|X_A> 8) &=& \frac{P(X_A\le 10\cap X_A> 8)}{P(X_A> 8)}\\ &=& \frac{P(8<X_A\le 10)}{P(X> 8)}\\ &=& \frac{0.9332-0.6915}{0.3085}\\ &=& 0.7835 \end{eqnarray*}\]
2.c (pt 0.6/31→2/103) Siano \(X_1\sim \text{Pois}(0.5)\), \(X_2\sim \text{Pois}(0.5)\) e \(X_3\sim \text{Pois}(0.5)\), 3 Poisson indipendenti. Come si distribuisce \(X=X_1+X_2+X_3\)?
\[ X_1+X_2+X_3 \sim \text{Pois}(3\times 0.5) \]
2.d (pt 0.6/31→2/103) Siano \(A\) e \(B\) due eventi, tali che \(P(A|B)=0.5\), \(P(A|\bar B)=0.4\) e \(P(B)=0.3\), calcolare \(P(A)\).
\[\begin{eqnarray*} P(A) &=& P(A|B)P(B)+P(A|bar B)P(\bar B)\\ &=& 0.5\times 0.3+ 0.4\times(1-0.3)\\ &=& 0.43 \end{eqnarray*}\]
Esercizio 3
3.a (pt 3.9/31→13/103) Un’urna contiene 1 pallina numerata con \(\fbox{0}\), 3 numerate con \(\fbox{1}\) e 1 numerata con \(\fbox{2}\). Si vince se esce \(\fbox{1}\) oppure \(\fbox{2}\) e si perde altrimenti. Si estrae 80 volte con reinserimento. Qual è la probabilità di vincere meno di 60 volte?
Teorema del Limite Centrale (somma di Bernoulli)
Siano \(X_1\),…,\(X_n\), \(n=80\) VC IID, tc \(X_i\sim\text{Ber}(\pi=0.8)\)\(,\forall i\), posto: \[ S_n = X_1 + ... + X_n \] allora:\[\begin{eqnarray*} S_n & \mathop{\sim}\limits_{a}& N(n\pi,n\pi(1-\pi)) \\ &\sim & N(80\cdot0.8,80\cdot0.8\cdot(1-0.8)) \\ &\sim & N(64,12.8) \end{eqnarray*}\]\[\begin{eqnarray*} P( S_n < 60 ) &=& P\left( \frac { S_n - n\pi }{ \sqrt{n\pi(1-\pi)} } < \frac { 60 - 64 }{\sqrt{ 12.8 }} \right) \\ &=& P\left( Z < -1.12 \right) \\ &=& 1-\Phi( 1.12 ) \\ &=& 0.1314 \end{eqnarray*}\]
Esercizio 4
4.a (pt 0.9/31→3/103) Siano \(\hat\beta_0\), \(\hat\beta_1\) e \(\hat\sigma_\varepsilon\) gli stimatori di massima verosimiglianza di, \(\beta_0\), \(\beta_1\) e \(\sigma_\varepsilon\), del modello di regressione lineare semplice \[ y_i = \beta_0 + \beta_1 x_i +\varepsilon_i, ~\varepsilon_i\sim N(0,\sigma^2_\varepsilon),\forall i=1,...,n \] Scrivere il \(MSE\) di \(\hat\beta_1\).
Sappiamo che \(\hat\beta_1\) è stimatore corretto di \(\beta_1\) (teorema di Gauss-Markov): \[ E(\hat\beta_1)=\beta_1 \] Quindi, essendo corretto \[\begin{eqnarray} MSE(\hat\beta_1) &=& V(\hat\beta_1)\\ &=&\frac{\sigma_{\varepsilon}^{2}} {n \hat{\sigma}^{2}_{X}} \qquad \text{dal formulario} \end{eqnarray}\]
4.b (pt 0.9/31→3/103) Siano \(\hat\theta_1\) e \(\hat\theta_2\) due stimatori non corretti per \(\theta\), cosa significa dire che \(\hat\theta_1\) è più efficiente di \(\hat\theta_2\)?
4.c (pt 0.9/31→3/103) Si consideri il seguente sistema d’ipotesi: \[ \begin{cases} H_0:\theta=\theta_0\\ H_1:\theta>\theta_0 \end{cases} \]
Posta con \(T\) la VC statistica test e con \(t_\text{obs}\) il valore osservato della statistica test, definire il \(p_\text{value}\) del test.
Il \(p_\text{value}\) è la probabilità, se fosse vera \(H_0\) di avere un campione ancora più favorevole ad \(H_1\) di quello che abbiamo osservato, in altre parole ci dice quanto è raro il campione sotto ipotesi \(H_0\). In simboli, nel caso di un test unilaterale destro \[ p_\text{value} = P(T>t_\text{obs}) \]
4.d (pt 0.9/31→3/103) In un sondaggio su 273 lavoratori è stato chiesto il livello di formazione ricevuta sull’uso degli strumenti di Intelligenza Artificiale (Basso, Medio, Alto) e la valutazione della propria preparazione rispetto ai cambiamenti tecnologici nel lavoro (Adeguata, Insufficiente).
|
Livello di formazione
|
|||
|---|---|---|---|
| Basso | Medio | Alto | |
| Preparazione | |||
| Adeguata | 18 | 32 | 45 |
| Insufficiente | 40 | 40 | 98 |
Eseguito il test del \(\chi^2\) per verificare l’indipendenza tra il livello di formazione sugli strumenti di AI e la valutazione della preparazione rispetto ai cambiamenti tecnologici, si ottiene un \(p_\text{value}=0.1344\). Possiamo concludere che il livello di formazione ricevuta e la propria valutazione rispetto alla propria preparazione sono indipendenti? Perché?
Essendo \(p_\text{value}=0.1344>0.1\) il test non è significativo, non si rifiuta l’indipendenza tra il livello di utilizzo e l’opinione sull’impatto per nessun livello di significatività.
Esercizio 5
In uno studio su \(n=50\) municipalità dell’Unione Europea, sono stati analizzati il tasso di disoccupazione giovanile (in percentuale, \(X\)) e il numero di posti a sedere in teatro e cinema per abitante (\(Y\)).
Si sono osservate le seguenti statistiche: \[\begin{align*} \sum_{i=1}^n x_i &= 500.4, &\sum_{i=1}^n x_i^2 &= 5047.02 & \\ \sum_{i=1}^n y_i &= 114.68, &\sum_{i=1}^n y_i^2 &= 263.79 &\sum_{i=1}^n x_iy_i &= 1151.3. \end{align*}\]
5.a (pt 3.9/31→13/103) Per la regione \(R\) si è osservato \(x_R=10.5\) e \(y_R=2.19\), stimare il modello di regressione dove \(Y\) viene spiegata da \(X\) e calcolare il residuo per la regione \(R\).
\[\begin{eqnarray*} \bar x &=&\frac 1 n\sum_{i=1}^n x_i = \frac {1}{ 50 } 500.4 = 10.01 \\ \bar y &=&\frac 1 n\sum_{i=1}^n y_i = \frac {1}{ 50 } 114.68 = 2.294 \\ \hat\sigma_X^2&=&\frac 1 n\sum_{i=1}^n x_i^2-\bar x^2=\frac {1}{ 50 } 5047 - 10.008 ^2= 0.7803 \\ \hat\sigma_Y^2&=&\frac 1 n\sum_{i=1}^n y_i^2-\bar y^2=\frac {1}{ 50 } 263.8 - 2.2936 ^2= 0.0152 \\ \text{cov}(X,Y)&=&\frac 1 n\sum_{i=1}^n x_i~y_i-\bar x\bar y=\frac {1}{ 50 } 1151 - 10.008 \cdot 2.2936 = 0.07166 \\ \hat\beta_1 &=& \frac{\text{cov}(X,Y)}{\hat\sigma_X^2} \\ &=& \frac{ 0.07166 }{ 0.7803 } = 0.09183 \\ \hat\beta_0 &=& \bar y - \hat\beta_1 \bar x\\ &=& 2.294 - 0.0918 \times 10.008 = 1.375 \end{eqnarray*}\]\[\begin{eqnarray*} \hat y_i &=&\hat\beta_0+\hat\beta_1 x_i=\\ &=& 1.375 + 0.0918 \times 10.5 = 2.339 \\ \hat \varepsilon_i &=& y_i-\hat y_i\\ &=& 2.192 - 2.3388 = -0.1471 \end{eqnarray*}\]
5.b (pt 1.2/31→4/103) Determinare la percentuale di varianza spiegata dal modello.
\[\begin{eqnarray*} r&=&\frac{\text{cov}(X,Y)}{\sigma_X\sigma_Y}=\frac{ 0.07166 }{ 0.8834 \times 0.1233 }= 0.658 \\ r^2&=& 0.4329 < 0.75 \end{eqnarray*}\]
Il modello non si adatta bene ai dati.
Il modello spiega il \(43.29\%\) della variabilità totale della \(Y\).
5.c (pt 3.9/31→13/103) Testare l’ipotesi che \(\beta_0 = 1\) contro l’alternativa che sia maggiore, per \(\alpha=0.1,0.05,0.01,0.001\) e dare una valutazione approssimativa del \(p_\text{value}\) (ad esempio il \(p_\text{value}\) è minore di 0.001, compreso tra 0.05 e tra 0.01, ecc.).
\(\fbox{A}\) FORMULAZIONE DELLE IPOTESI
\[\begin{cases} H_0: \beta_0 = \beta_{0;H_0}=1 \\ H_1: \beta_0 > \beta_{0;H_0}=1 \end{cases}\]
\(\fbox{B}\) SCELTA E CALCOLO STATISTICA-TEST, \(T\) Test su un coefficiente di regressione: \(\Rightarrow\) t-Test.
\[\begin{eqnarray*} \hat{\sigma_\varepsilon}^2&=&(1-r^2)\hat\sigma_Y^2\\ &=& (1- 0.433 )\times 0.0152 \\ &=& 0.0086 \\ S_\varepsilon^2 &=& \frac{n} {n-2} \hat{\sigma_\varepsilon}^2\\ &=& \frac{ 50 } { 50 -2} \hat{\sigma_\varepsilon}^2 \\ &=& \frac{ 50 } { 50 -2} \times 0.0086 = 0.009 \end{eqnarray*}\]
E quindi\[\begin{eqnarray*}
V(\hat\beta_{0}) &=& \sigma_{\varepsilon}^{2} \left( \frac{1}
{n} + \frac{\bar{x}^{2}} {n \hat{\sigma}^{2}_{X}} \right)\\
\widehat{V(\hat\beta_{0})} &=& S_{\varepsilon}^{2}\left(
\frac{1} {n} + \frac{\bar{x}^{2}} {n \hat{\sigma}^{2}_{X}} \right)\ \\
&=& 0.009 \times\left( \frac{1} { 50 } + \frac{ 10.01 ^{2}} {
50 \times 0.7803 } \right)\\
\widehat{SE(\hat\beta_{0})} &=& \sqrt{ 0.0232 }\\
&=& 0.1523
\end{eqnarray*}\]
\[\begin{eqnarray*}
\frac{\hat\beta_{ 0 } - \beta_{ 0 ;H_0}} {\widehat{SE(\hat\beta_{ 0
})}}&\sim&t_{n-2}\\
t_{\text{obs}}
&=& \frac{ ( 1.375 - 1 )} { 0.1524 }
= 2.458 \, .
\end{eqnarray*}\]
\(\fbox{C}\) CONCLUSIONE
Consideriamo \(\alpha=0.1, 0.05, 0.01, 0.001\)
I valori critici sono
\(t_{50-2;0.1}=1.2994\); \(t_{50-2;0.05}=1.6772\); \(t_{50-2;0.01}=2.4066\); \(t_{50-2;0.001}=3.2689\)
Siccome \(2.4066<t_\text{obs}=2.4579<3.2689\), quindi rifiuto \(H_0\) all’1%,
\(0.001<p_\text{value}<0.01\), molto significativo \(\fbox{**}\).
Il \(p_{\text{value}}\) è
\[ p_{\text{value}} = P(T_{50-2}>2.46)=0.008819 \]
Attenzione il calcolo del \(p_\text{value}\) con la \(T\) è puramente illustrativo e non può essere riprodotto senza una calcolatrice statistica adeguata.\[ 0.001 < p_\text{value}= 0.008819 \leq 0.01 \]
5.d (pt 0.6/31→2/103) Che differenza c’è tra interpolazione ed estrapolazione?
5.e (pt 0.6/31→2/103) Se in un modello di regressione \(r <0\) che segno avrà \(\hat\beta_1\)?
5.f (pt 0.6/31→2/103) In un modello di regressione lineare, cosa comporta \(r=-1\)?
Prova di Statistica 3
Esercizio 1
Su un campione di \(200\) aziende con più di 50 addetti dell’Emilia-Romagna è stato rilevato l’investimento effettuato negli ultimi 5 anni in intelligenza artificiale (espresso in milioni di euro). Di seguito è riportata la distribuzione delle frequenze cumulate:
| \([\text{x}_j,\) | \(\text{x}_{j+1})\) | \(F_j\) |
|---|---|---|
| 0 | 2 | 0.10 |
| 2 | 3 | 0.50 |
| 3 | 7 | 0.95 |
| 7 | 15 | 1.00 |
1.a (pt 3.9/31→13/103) Individuare la classe modale.
| \([\text{x}_j,\) | \(\text{x}_{j+1})\) | \(n_j\) | \(f_j\) | \(b_j\) | \(h_j\) |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 2 | 20 | 0.10 | 2 | 5.00 |
| 2 | 3 | 80 | 0.40 | 1 | 40.00 |
| 3 | 7 | 90 | 0.45 | 4 | 11.25 |
| 7 | 15 | 10 | 0.05 | 8 | 0.62 |
| 200 | 1.00 | 15 |
1.b (pt 1.2/31→4/103) Qual è la percentuale di aziende che hanno investito tra il 15-esimo e il 50-esimo percentile?
Per definizione \(\%(x_{0.15}<X<x_{0.5})=35\%\) e \(\#(x_{0.15}<X<x_{0.5})\approx0.35\times200 =70\)
1.c (pt 0.6/31→2/103) Sapendo che le media è pari a \(3.9\) e considerata la mediana calcolata al punto 1.a, che forma avrà l’istogramma di densità?
1.d (pt 0.6/31→2/103) L’investimento medio è pari a \(\bar x=3.9\), mentre la SD è pari a \(\sigma=2.2\). Se ogni impresa diminuisse il proprio investimento del 10%, quanto varrebbero la media e la SD dei dati così trasformati?
\[ \bar y= 3.51 ~~~~~~~~ \sigma_Y= 1.98 \]
Esercizio 2
Un processo è svolto da \(n=5\) agenti AI, ogni agente commette un’allucinazione con probabilità \(\pi=0.25\). Sia \(X_i\) la VC che vale 1 se l’agente \(i\) ha commesso un’allucinazione e vale 0 altrimenti: \[ P(X_i = 1) = 0.25, \qquad i =1,...,5 \] e sia \[ X=X_1+...+X_5 \] la VC che conta il numero di allucinazioni su 5 agenti.
2.a (pt 3.9/31→13/103) Calcolare la probabilità che il processo abbia almeno un’allucinazione (\(P(X\ge 1)\)).
\[ X=X_1 + ... + X_5 \sim \operatorname{Binom}(5;0.25) \] \[\begin{eqnarray*} P( X \geq 1 ) &=& 1-P( X < 1 ) \\ &=& 1-\left( \binom{ 5 }{ 0 } 0.25 ^{ 0 }(1- 0.25 )^{ 5 - 0 } \right)\\ &=& 1-( 0.2373 )\\ &=& 1- 0.2373 \\ &=& 0.7627 \end{eqnarray*}\]
2.b (pt 1.2/31→4/103) Calcolare \(P(X\ge 2|X\ge 1)\).
\[ X=X_1 + ... + X_5 \sim \operatorname{Binom}(5;0.25) \]
\[\begin{eqnarray*} P(X\ge 2|X\ge 1) &=& \frac{P(X\ge 2\cap X\ge 1)}{P(X\ge 1)}\\ &=& \frac{P(X\ge 2)}{P(X\ge 1)}\\ &=& \frac{0.3672}{0.7627}\\ &=& 2.0771 \end{eqnarray*}\]
2.c (pt 0.6/31→2/103) Siano \(Z\sim N(0,1)\), \(X\sim \chi^2_2\) e \(Y\sim \chi^2_5\), \(X\), \(Y\) e \(Z\) indipendenti. Come si distribuisce \[ Z^2+X+Y\sim~~? \]
Siccome \[ Z^2 \sim \chi^2_1 \]
allora
\[ Z^2+X+Y \sim \chi^2_{1+2+5} \]
2.d (pt 0.6/31→2/103) Siano \(A\) e \(B\) due eventi tali che \(P(A)=0.4\) e \(P(B)=0.6\), dimostrare che se \(A\) e \(B\) sono incompatibili, allora \(B=\bar A\).
No, perché se lo fossero avremmo che \(P(A\cap B)=0\) e di conseguenza \[ P(A\cup B)= P(A)+P(B)=0.5+0.6> 1 \] che è impossibile.
Esercizio 3
3.a (pt 3.9/31→13/103) Un’urna contiene 1 pallina numerata con \(\fbox{0}\), 3 numerate con \(\fbox{1}\) e 1 numerata con \(\fbox{2}\). Si estrae 80 volte con reinserimento. Qual è la probabilità che la somma delle 80 palline sia inferiore a 75?
\[\begin{eqnarray*} \mu &=& \frac 1{ 5 }( 0 + 1 + 1 + 1 + 2 )= 1 \\ \sigma^2 &=& \frac 1{ 5 }( 0 ^2+ 1 ^2+ 1 ^2+ 1 ^2+ 2 ^2 )-( 1 )^2= 0.4 \end{eqnarray*}\] Teorema del Limite Centrale (somma VC qualunque)
Siano \(X_1\),…,\(X_n\), \(n=80\) VC IID, tc \(E(X_i)=\mu=1\) e \(V(X_i)=\sigma^2=0.4,\forall i\), posto: \[ S_n = X_1 + ... + X_n \] allora:\[\begin{eqnarray*} S_n & \mathop{\sim}\limits_{a}& N(n\mu,n\sigma^2) \\ &\sim & N(80\cdot1,80\cdot0.4) \\ &\sim & N(80,32) \end{eqnarray*}\]\[\begin{eqnarray*} P( S_n < 75 ) &=& P\left( \frac { S_n - n\mu }{ \sqrt{n\sigma^2} } < \frac { 75 - 80 }{\sqrt{ 32 }} \right) \\ &=& P\left( Z < -0.88 \right) \\ &=& 1-\Phi( 0.88 ) \\ &=& 0.1894 \end{eqnarray*}\]
Esercizio 4
4.a (pt 0.9/31→3/103) Siano \(\hat\beta_0\), \(\hat\beta_1\) e \(\hat\sigma_\varepsilon\) gli stimatori di massima verosimiglianza di, \(\beta_0\), \(\beta_1\) e \(\sigma_\varepsilon\), del modello di regressione lineare semplice \[ y_i = \beta_0 + \beta_1 x_i +\varepsilon_i, ~\varepsilon_i\sim N(0,\sigma^2_\varepsilon),\forall i=1,...,n \] Sapendo che: \[ V(\hat\sigma_\varepsilon)=\frac{2(n-2)}{n^2}\sigma_\varepsilon^4 \] Scrivere il \(MSE\) di \(\hat\sigma_\varepsilon^2\).
Sappiamo che \(\hat\sigma_\varepsilon^2\) non è stimatore corretto di \(\sigma_\varepsilon^2\) \[ E(\hat\sigma_\varepsilon^2)=\frac{n}{n-2} \sigma_\varepsilon^2 \]
quindi
\[ \operatorname{Bias}(\hat\sigma_\varepsilon^2) = E(\hat\sigma_\varepsilon^2)-\sigma_\varepsilon^2 = -\frac{2}{n}\sigma_\varepsilon^2. \]
Pertanto
\[ \begin{aligned} MSE(\hat\sigma_\varepsilon^2) &= V(\hat\sigma_\varepsilon^2)+\operatorname{Bias}^2(\hat\sigma_\varepsilon^2)\\ &= \frac{2(n-2)}{n^2}\sigma_\varepsilon^4 + \left(-\frac{2}{n}\sigma_\varepsilon^2\right)^2\\ &= \frac{2(n-2)+4}{n^2}\sigma_\varepsilon^4\\ &= \frac{2}{n}\sigma_\varepsilon^4. \end{aligned} \]
Quindi:
\[ MSE(\hat\sigma_\varepsilon^2)=\frac{2}{n}\sigma_\varepsilon^4 \]
4.b (pt 0.9/31→3/103) Sia \(\hat\theta\) lo stimatore di massima verosimiglianza per \(\theta\), indicare la sua distribuzione asintotica.
4.c (pt 0.9/31→3/103) Definire un intervallo di confidenza al 95% per un generico parametro \(\theta\).
Un intervallo di confidenza al livello 95% per \(\theta\) è un intervallo costruito sui dati in modo tale che il 95% delle volte contenga il vero parametro \(\theta\). Ovvero è una coppia di statistiche \(L_1(X_1,...,X_n)<L_2(X_1,...,X_n)\) tali che \[ P([L_1(X_1,...,X_n),L_2(X_1,...,X_n)]\ni\theta)=0.95 \]
4.d (pt 0.9/31→3/103) Una moneta, che non sappiamo se è perfetta oppure no, viene lanciata 100 volte. Abbiamo osservato 34 volte testa su 100 lanci. Posto \(\pi\) la probabilità che la moneta mostri testa, si è testato \[ \begin{cases} H_0:\pi=\frac 12\\ H_1:\pi\ne\frac 12 \end{cases} \] ed è risultato \(p_\text{value}=0.0014\). Possiamo concludere che la moneta sia truccata? Perché?
Esercizio 5
In un’indagine sulla penetrazione dell’intelligenza artificiale (IA) nel mondo del lavoro sono state indagate 75 aziende con oltre i 50 dipendenti della regione Lombardia. L’indagine ha mostrato che 45 aziende su 75 hanno integrato i loro processi produttivi con sistemi IA.
5.a (pt 0.9/31→3/103) Costruire un intervallo di confidenza al 95 % per la proporzione di aziende che in Lombardia integrano i loro processi con l’IA.
\(1-\alpha =0.95\) e quindi \(\alpha=0.05\rightarrow \alpha/2=0.025\)
\[ \hat\pi = \frac{S_n}n = \frac{ 45 }{ 75 }= 0.6 \]
\[\begin{eqnarray*} Idc: & & \hat\pi \pm z_{\alpha/2} \times \sqrt{\frac{\hat\pi(1-\hat\pi)}{n}} \\ & & 0.6 \pm 1.96 \times \sqrt{\frac{ 0.6 (1- 0.6 )}{ 75 }} \\ & & 0.6 \pm 1.96 \times 0.05657 \\ & & [ 0.4891 , 0.7109 ] \end{eqnarray*}\]
5.b (pt 3.0/31→10/103) Un’indagine analoga, condotta sul territorio nazionale, ha mostrato che la proporzione di aziende che integrano l’IA nei loro processi è pari 0.55. Testare l’ipotesi che la proporzione di aziende che usano le IA nella regione Lombardia sia uguale a quella del resto d’Italia contro l’alternativa che sia maggiore. Risolvere con il \(p_\text{value}\) e confrontarlo per \(\alpha = 0.1,\ 0.05,\ 0.01,\ 0.001\).
Test \(Z\) per una proporzione
La stima \[\hat\pi=\frac { 45 } { 75 }= 0.6 \]
\(\fbox{A}\) FORMULAZIONE DELLE IPOTESI
\[\begin{cases} H_0: \pi = \pi_0=0.55 \\ H_1: \pi > \pi_0=0.55 \end{cases}\]
\(\fbox{B}\) SCELTA E CALCOLO STATISTICA-TEST, \(Z\) Test Binomiale per \(n\) grande: \(\Rightarrow\) z-Test.
\[\begin{eqnarray*} \frac{\hat\pi - \pi_{0}} {\sqrt {\pi_0(1-\pi_0)/\,n}}&\sim&N(0,1)\\ z_{\text{obs}} &=& \frac{ ( 0.6 - 0.55 )} {\sqrt{ 0.55 (1- 0.55 )/ 75 }} = 0.8704 \,. \end{eqnarray*}\]
\(\fbox{C}\) CONCLUSIONE
Il \(p_{\text{value}}\) è
\[ p_{\text{value}} = P(Z>0.87)=0.192044 \]
\[
0.1 < p_\text{value}= 0.192044 \leq 1
\]
Non rifiuto \(H_0\) a nessun livello di significatività,
\(p_\text{value}>0.1\), non significativo
Esercizio 6
In uno studio su \(n=50\) municipalità dell’Unione Europea, sono stati analizzati il numero di centraline per la ricarica delle auto elettriche per chilometro quadrato (X) e una misura della qualità dell’aria espressa in opportuna scala (Y).
Si sono osservate le seguenti statistiche: \[\begin{align*} \sum_{i=1}^n x_i &= 497.7, &\sum_{i=1}^n x_i^2 &= 5123.67 & \\ \sum_{i=1}^n y_i &= 113.92, &\sum_{i=1}^n y_i^2 &= 262.03 &\sum_{i=1}^n x_iy_i &= 1151.85. \end{align*}\]
6.a (pt 3.9/31→13/103) Per la regione \(R\) si è osservato \(x_R=10.1\) e \(y_R=2.24\), stimare il modello di regressione dove \(Y\) viene spiegata da \(X\) e calcolare il residuo per la regione \(R\).
\[\begin{eqnarray*} \bar x &=&\frac 1 n\sum_{i=1}^n x_i = \frac {1}{ 50 } 497.7 = 9.954 \\ \bar y &=&\frac 1 n\sum_{i=1}^n y_i = \frac {1}{ 50 } 113.92 = 2.278 \\ \hat\sigma_X^2&=&\frac 1 n\sum_{i=1}^n x_i^2-\bar x^2=\frac {1}{ 50 } 5124 - 9.954 ^2= 3.391 \\ \hat\sigma_Y^2&=&\frac 1 n\sum_{i=1}^n y_i^2-\bar y^2=\frac {1}{ 50 } 262 - 2.2784 ^2= 0.04949 \\ \text{cov}(X,Y)&=&\frac 1 n\sum_{i=1}^n x_i~y_i-\bar x\bar y=\frac {1}{ 50 } 1152 - 9.954 \cdot 2.2784 = 0.3578 \\ \hat\beta_1 &=& \frac{\text{cov}(X,Y)}{\hat\sigma_X^2} \\ &=& \frac{ 0.3578 }{ 3.391 } = 0.1055 \\ \hat\beta_0 &=& \bar y - \hat\beta_1 \bar x\\ &=& 2.278 - 0.1055 \times 9.954 = 1.228 \end{eqnarray*}\]\[\begin{eqnarray*} \hat y_i &=&\hat\beta_0+\hat\beta_1 x_i=\\ &=& 1.228 + 0.1055 \times 10.1 = 2.294 \\ \hat \varepsilon_i &=& y_i-\hat y_i\\ &=& 2.238 - 2.2938 = -0.05583 \end{eqnarray*}\]
6.b (pt 1.2/31→4/103) Determinare la percentuale di varianza spiegata dal modello.
\[\begin{eqnarray*} r&=&\frac{\text{cov}(X,Y)}{\sigma_X\sigma_Y}=\frac{ 0.3578 }{ 1.842 \times 0.2225 }= 0.8733 \\ r^2&=& 0.7627 > 0.75 \end{eqnarray*}\]
Il modello si adatta bene ai dati.
Il modello spiega il \(76.27\%\) della variabilità totale della \(Y\).
6.c (pt 0.6/31→2/103) Definire gli outliers e i punti di leva.
6.d (pt 0.6/31→2/103) Se in un modello di regressione \(\hat\beta_1 >0\) che segno avrà \(r\)?
6.e (pt 0.6/31→2/103) Cosa significa quando \(r^2=0\)?